Conceptos básicos de Álgebra Elemental con ejemplos

1) ¿Qué es el Álgebra?

El Álgebra es una rama de las Matemáticas, cuya finalidad es enunciar con brevedad los problemas y sus soluciones, para lo cual representa las cantidades mediante letras del alfabeto en combinación con números. Por ejemplo, la expresión “la suma de dos números cualesquiera” se puede escribir en términos algebraicos simplemente como “x+y”, donde la letra “x” representa uno de los números y la letra “y” representa el otro.

El Álgebra permite crear modelos matemáticos de fenómenos de la naturaleza a través de combinación de letras, números y símbolos matemáticos. Fuente: Pixabay.

2) Expresión Algebraica

Es un conjunto de cantidades tanto literales como numéricas,  relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas, a saber: suma, resta, multiplicación y división.

Ejemplos

 

• 2x + 3y – 8 

•   

• 2(x -7y) + 4

 

3) Término de una expresión algebraica

 

Es una cantidad perteneciente a la expresión, que está separada de otras por un signos de suma (+) o de resta (-). Por ejemplo, la expresión algebraica 2x + 3y – 8 contiene tres (3) términos: 2x, 3y y -8.

 

4) Elementos de un término

 

En un término que forma parte de una expresión algebraica se distinguen los siguientes elementos:

 

• Signo, que puede ser positivo o negativo.
• Coeficiente, es el número que aparece delante de las letras y cuando no aparece, debe entenderse que es igual a 1. 
• Factor literal, consiste en las letras con sus respectivos exponentes, y si la letra carece de exponente, de nueve se debe entender que el exponente vale 1.

 

Ejemplo

Indique los elementos del término 5x².

 

Respuesta: el signo es positivo (+), el coeficiente es 5 y la parte literal es x².

 

5) Clasificación de las expresiones algebraicas

 

Las expresiones algebraicas reciben un nombre de acuerdo a la cantidad de términos que tiene, se distinguen entonces:

 

I) Monomio: expresión algebraica que tiene un término único.

 

 Ejemplos

 

• -10x²y
• 2x²
• 4a²b⁶c⁷

 

II)  Binomio: expresión algebraica con dos términos.

Ejemplos

 

• x² +y²                        
• y-6
• -5a + 4y²

                                              

 

III)  Trinomio: expresión algebraica con tres términos.

Ejemplos

                                           

• 5x² – 2x – 9
• 4a² +8ax-x³

 

IV)  Polinomio: cualquier expresión algebraica con más de tres términos.

Ejemplos

           

• 5a² – 3ab + c + 4a - 5b - c +10

 

• -6z⁴ –3d ³ – d ² + d – 21

 

6) Grado absoluto y grado relativo

 

El grado absoluto de un término que consta de una sola variable viene dado por su exponente entero no negativo, mientras que el grado absoluto de un término de dos o más variables se obtiene sumando los grados de cada una.

Por su parte, el grado relativo es el exponente de una letra en particular.

 

 

Ejemplos

 

• El grado absoluto de 25x³ es 3, ya que 3 es el exponente (entero no negativo) de la letra x.

 

• El grado absoluto de la expresión -7x² y³ es 2+3=5, ya que 5 es la suma de los exponentes de cada literal.

 

• El grado relativo de la letra x en la expresión -7x² y³ es 2.

 

Grado de una constante

 

El grado absoluto de un número es 0, ya que el número “a” se puede expresar como ax⁰=a, ya que cualquier número o literal, elevado a la 0 es igual a 1 por definición.

 

7) Términos semejantes

 

Se dice que dos o más términos son semejantes si tienen las mismas letras y exponentes, aunque el coeficiente sea distinto.

 

Ejemplos

Los términos 5x²y³z y -11x²y³z son semejantes, puesto que la parte literal es la misma, exponentes incluidos, y lo que cambia son los coeficientes.

En cambio los términos:  4x²abz y 4xa²bz³ no son semejantes, porque aunque las letras y el coeficiente son los mismos, las potencias no lo son.

 

8) Reducción de Términos Semejantes

 

Cuando dos o más términos son semejantes, se pueden reunir en uno solo.

 

Ejemplos

 

Reducir los siguientes términos: 6x²y, -7 x²y, √2∙ x²y.

 

Respuesta: basta con sumar algebraicamente los coeficientes y ponerlos como factor común de la parte literal. Queda:

 

(6-7+√2) x²y = (-1+√2) x²y

 

9) Uso de los símbolos de agrupación

 

Los símbolos de agrupación son paréntesis (), corchetes, [] y llaves {}. Se utilizan comúnmente como separadores y agrupadores para las distintas operaciones. A la hora de trabajar con ellos, hay que tener en cuenta varios detalles muy importantes:

 

• Si el signo que precede al símbolo es positivo (+), se puede eliminar sin cambiar los signos del contenido.
• En cambio, si el signo que precede al símbolo es negativo (-), hay que cambiar los signos del contenido si se pretende eliminar el símbolo de agrupación.   
• Si la expresión algebraica contiene símbolos de agrupación unos dentro de otros, es decir, anidados, cuando se quieran eliminar se debe comenzar siempre desde el símbolo más interior, que usualmente es un paréntesis.

 

Ejemplo

Eliminar los símbolos de agrupación y reducir los términos semejantes hasta donde sea posible en la expresión algebraica siguiente:

 

-3x+6y – {2x-[3x-(5y-8x)+2]-3x+y-25}

 

Respuesta

 

Paso 1

Se elimina primero el paréntesis:

 

-3x+6y – {2x-[3x-(5y-8x)+2]-3x+y-25} = -3x+6y – {2x-[3x-5y+8x+2]-3x+y-25}

 

Paso 2

Se elimina el corchete:

 

-3x+6y – {2x-[3x-5y+8x+2]-3x+y-25} = -3x+6y – {2x-3x+5y-8x-2-3x+y-25}

 

Paso 3

Se elimina la llave:

 

-3x+6y – {2x-3x+5y-8x-2-3x+y-25} = -3x+6y – 2x+3x-5y+8x+2+3x-y+25

 

Paso 4

Se reducen los términos semejantes

 

-3x– 2x + 3x + 8x + 3x - 5y – y + 6y + 25 + 2 = 6x +3y + 27

 

 

10) Valor numérico de una  expresión algebraica

Consiste en reemplazar la letra o literal por algún valor numérico y llevar a cabo las operaciones indicadas en la expresión.

Ejemplos

 

Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

 

• 5x²y ; x = -1; y = 2

 

Respuesta: 5∙ (-1)² ∙2 = 10

 

• 5m²n – 4m³(-n)²       ; m = 2, n = -3

 

Respuesta: 5∙ (2)² ∙(-3) - 4∙ (2)³ ∙[(-3)]² = -60-288 = -348.

11) Polinomios completos y ordenados

 

Completar significa añadir al polinomio algún término cuyo exponente falte, y para no alterar al polinomio, este coeficiente tiene que ser 0. Por su parte, ordenar consiste en escribir los términos según el exponente, ya sea en forma descendente o ascendente.

 

Cuando se ordena en forma ascendente o creciente se comienza por el término con menor exponente, y se aumenta en forma sucesiva y ordenada, mientras que al ordenar en forma descendente o decreciente, se empieza por el término de mayor grado. Normalmente, para trabajar con ellos, los polinomios se ordenan de forma decreciente.

 

En caso de que la parte literal conste de más de una letra, se puede ordenar el polinomio de acuerdo a una de ellas.

Ejemplo

 

Ordenar en forma descendente el siguiente polinomio, y completarlo si es preciso:

 

x² + x - 9x⁵ +24

 

Respuesta: - 9x⁵ +0x⁴ +0x³ +x² + x +24

 Por F. Zapata

 Bibliografía

1. Baldor, A. 2005. Álgebra. Grupo Patria Cultural.
2. Larson, R. 2012. Precálculo. 8va. Edición. Cengage Learning.
3. Stewart, J. 2007. Precálculo: Matemáticas para el cálculo. 5ta. Edición. Cengage Learning.
4. Zill, D. 1984. Álgebra y Trigonometría. McGraw Hill.