Problemas de lenguaje algebraico resueltos paso a paso

El lenguaje algebraico es una forma de escribir proposiciones matemáticas de una forma compacta, valiéndose de números, letras y símbolos, como +, - y otros más. Muchos de estos símbolos ya se conocen de la aritmética.

Mediante este lenguaje algebraico podemos transformar adecuadamente una proposición verbal, del tipo:

“El doble de un número más la tercera parte de ese número, todo ello disminuido en dos unidades”

En una expresión más compacta.

Para hacerlo consideremos primero un número cualquiera, cuyo valor se desconoce, el cual puede expresarse mediante una letra del alfabeto.

Lo más común es que sea la "x", pero cualquier otra letra también funciona igualmente bien. Después observamos que necesitamos el doble de este número: 2x.

Después dice que le agreguemos la tercera parte de ese número: 2x + x/3.

Y por último que todo ello debe estar disminuido en dos unidades. Disminuir equivale a restar, y dos unidades son el número 2. Con esta información, la proposición queda escrita como:

2x + x/3 -2

Las expresiones algebraicas hacen uso de números, letras y símbolos. Fuente: F. Zapata.

Veamos algunos ejemplos sencillos de traducción. Con su ayuda podemos resolver muchas situaciones, como las que se plantean en los siguientes problemas:

• El doble de un número, el triple de un número: 2x, 3x 
• Dos números: x, y
• El triple de un número aumentado en cinco unidades: 3x + 5
• Un número par: 2x
• El doble de un número disminuido en una unidad: 2x-1
• Un número impar. 2x + 1
• El cuadrado de un número: x²
• Un número elevado al cuadrado y disminuido en una unidad: x²-1
• Dos números consecutivos: x, x+1
• Tres números consecutivos: x, x+1, x+2
• El doble de un número sumado con el triple de otro: 2x + 3y
• Un número dividido entre dicho número disminuido en 5: x /(x-5)



Problema 1



La suma de tres números consecutivos es 123. ¿Cuáles son los números?




Respuesta



Sea x el primero de los números, x+1 el segundo y x+2 el tercero. Los sumamos e igualamos el resultado a 123:


x + (x+1) + (x+2) = 123


Los paréntesis se retiran sin problema pues están precedidos por signos +:


3x + 3 = 123


3x = 120


x = 40


Los números  buscados son 40, 41 y 42. Es fácil comprobar que su suma es 123.



Problema 2



En una granja hay solo conejos y gallinas. Se sabe que en total hay 30 ojos y 44 patas.

a) ¿Cuántos conejos hay?
b) ¿Cuántos gallinas hay?





Respuesta



Para obtener la expresión algebraica se procede así:

Llamaremos C al número de conejos y G al número de gallinas.
El número de ojos que tienen los C conejos es 2C y el número de ojos que tienen las G gallinas es 2G por lo que el total de ojos es:

2C + 2G = 30

El número de patas de los conejos es 4C y el número de patas de las gallinas es 2G, entonces el número total de patas es 44, lo cual se escribe así:

4C + 2G = 44

El sistema algebraico de ecuaciones que permite obtener la respuesta es:

2C + 2G = 30
4C + 2G = 44

Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. La solución a este sistema es:

 C=7 y G=8.





Problema 3



El producto de dos números enteros es 24. ¿Cuáles pueden ser esos números?





Respuesta



Llamaremos x e y a dichos números desconocidos, entonces se plantea:
x.y = 24

Solamente tenemos esos datos, así que podemos suponer el valor de uno de ellos, por ejemplo si x = 6, entonces y = 4.

Pero esta no es la única opción ni mucho menos. Si hacemos x = 3, entonces y = 8, ya que el producto de ambos es 24. También sirve hacer x = 24 y y= 1.

Estas tres opciones sirven si usamos números naturales, pero tenemos más opciones si utilizamos números de conjuntos numéricos más amplios.





Problema 4



Hay que dividir el número 254 en tres partes, tales que la segunda sea el triple de la primera y 40 unidades mayor que la tercera.





Respuesta



Las tres partes son x, y, z, entonces:

x + y + z = 254

Pero y = 3x, además y = z + 40.

Estas tres ecuaciones forman el sistema algebraico que permite calcular cuánto debe valer cada parte. 

El lector puede comprobar que la solución es x= 42, y= 126, z= 86.





Problema 5



La edad de Jorge es el triple de la edad de Joaquín, y entre ambos suman 40 años. ¿Cuáles son las edades de Jorge y de Joaquín?





Respuesta



Edad de Jorge: X
Edad de Joaquín: Y

La edad de Jorge es el triple de la edad de Joaquín: X = 3Y

Entre ambos suman 40 años: X + Y = 40

3Y + Y = 40 ⇒ 4Y = 40 ⇒ Y = 10

X = 40 - Y = 30.

Es decir Jorge tiene 30 años y Joaquín tiene 10 años.





Problema 6



¿Cuáles son los números que al sumarlos resulta 100 sabiendo que el doble del mayor equivale a 3 veces el menor?





Respuesta



Llamamos al mayor M y al menor m, entonces M + m = 100, pero se sabe que 2M = 3m, es decir M = 3m /2. 

Sustituyendo queda 3m/2 + m = 100.

Luego 5m/2 = 100 lo que significa que m= 2 x 100 / 5 = 40 y M= 60.

El mayor de los números es 60 y el menor es 40.





Problema 7



Se sabe que el triple de cierto número excede en 48 a la tercera parte de dicho número. ¿Cuál es este número?





Respuesta



Supongamos que N es el número. Entonces 3N = N/3 + 48. El lector puede comprobar que dicho número es N=18.




Referencias



1) Baldor. 1990. Aritmética. Editorial Cultural Centroamericana C.A.
2) Math.com. The Language of Algebra. Recuperado de: math.com.