Problemas de mezclas

Las mezclas están en todas partes, desde la cocina hasta las industrias más complejas. Combinar diferentes sustancias permite obtener resultados asombrosos: un café con leche perfecto, una salsa irresistible, panqueques esponjosos, aleaciones de gran durabilidad o medicamentos que combaten enfermedades.

En resumen, el objetivo de las mezclas es crear algo nuevo con características superiores a las de sus componentes individuales.

Las mezclas tienen innumerables aplicaciones en todos los ámbitos. Fuente: Pexels.

¿Cómo resolver problemas de mezclas?

Resolver problemas de mezclas no es complicado. Solo se necesitan ecuaciones lineales, las cuales nos permiten determinar la cantidad exacta de cada sustancia para obtener la combinación deseada.

La clave radica en organizar cuidadosamente la información proporcionada y elegir la variable adecuada. En este sentido, el uso de tablas puede ser una herramienta muy útil para convertir la información en ecuaciones claras y manejables. Asimismo, es conveniente repasar previamente el lenguaje algebraico, que se utiliza para expresar proposiciones en forma matemática.

Ahora, veamos algunos ejemplos de problemas con su solución detallada:

Ejemplo 1

Imaginemos dos tipos de leche con diferentes contenidos de materia grasa: una con un 10% y otra con un 60%. ¿En qué proporciones se deben combinar ambas calidades para obtener 100 litros de una mezcla final con un 45% de materia grasa?

Solución

La información se organiza en una tabla, como se sugirió anteriormente. Es necesario etiquetar cada componente de la mezcla, en este caso, se han utilizado números para los componentes de la mezcla: calidad 1 y calidad 2. Las etiquetas están en la primera columna, comenzando desde la izquierda.

En la siguiente columna están los porcentajes de materia grasa de cada calidad y de la mezcla.

En la tercera columna, que contiene las cantidades, aparece la variable, siendo la incógnita "x" la cantidad en litros de la leche de calidad 1 (se hubiera podido escoger la otra calidad igualmente).

Puesto que se quiere obtener 100 L de mezcla en total, la cantidad de leche de la calidad 2 debe ser 100-x.

Finalmente, en la última columna a la derecha, se encuentra el contenido de grasa de cada cantidad, según los porcentajes dados. Esto es lo que se quiere ajustar en la mezcla para que resulte en 45%.

Cómo dibujar la gráfica de una función de variable real

La gráfica de una función ilustra el conjunto de puntos que satisface la relación entre las variables. Dado que se trata de una función de variable real, el conjunto de partida o dominio de la función será un subconjunto de los números reales. Lo mismo sucede con el conjunto de llegada.

Figura de mariposa obtenida graficando una suma de funciones senoidales y cosenoidales. Fuente: grafikus.ru.

El dibujo obtenido será una curva en el plano, la cual depende de la función en cuestión. Así, la gráfica de una función lineal es una línea recta, la de una función cuadrática es una parábola y la de una función polinómica será una curva cuya forma dependerá del grado del polinomio.

Un procedimiento sencillo para hacer a mano la representación gráfica de una función f(x) es el siguiente:

• Calcule las coordenadas de algunos puntos de la función. Para ello, asigne valores arbitrarios del dominio de la función a la variable x y calcule el correspondiente valor de y. Disponga todo en una tabla. Si conoce puntos importantes de la función, tales como las intersecciones con los ejes, en caso de que existan, agréguelos también.

• Dibuje un sistema de coordenadas cartesianas, preferiblemente sobre un papel cuadriculado o milimetrado. Ayúdese con una regla graduada para dibujar los ejes y tomar una escala adecuada. Sobre este sistema de coordenadas, dibuje los puntos obtenidos en el paso anterior.

• Trace la gráfica uniendo los puntos mediante una curva suave y uniforme, dibujando de izquierda a derecha. Extienda la curva según sea necesario para cubrir el dominio de la función, conforme a la escala seleccionada.

Importante:

• No una los puntos con segmentos de recta, la curva debe ser suave.
• Dibuje suficientes puntos para obtener una imagen completa de la función. Si elige puntos restringiéndose a unos pocos valores de x, es posible que solo obtenga una parte de la curva y se pierda de ver el comportamiento general de la función.

Ejemplo 1

Obtener la gráfica de la función:

f(x)= ─x² + 4

Comentar la gráfica obtenida.

Solución

El primer paso es hacer una tabla de valores como esta:

El segundo paso es dibujar los puntos obtenidos en la tabla sobre el sistema de coordenadas cartesianas. Nótese que cada cuadrito es de 1x1, pero la escala se puede elegir acorde a los valores de las variables.

Por último, se dibuja la curva como se ha indicado anteriormente, es decir, con trazo suave y continuo, comenzando por la izquierda:

La gráfica obtenida es una parábola, ya que corresponde a una función cuadrática. En este caso, la parábola abre hacia abajo y su vértice o punto máximo es el (0,4).

Nótese que tiene dos intersecciones con el eje horizontal: (-2,0) y (2,0).

También puede decirse que la función es creciente en el intervalo que va desde -∞ hasta x=0 y decreciente desde x=0 en adelante.

 

Ejemplo 2

Obtener la gráfica de la función:

f(x)= 2x³ + 3x² ─ x +2

Comentar el comportamiento de la función a partir de la gráfica obtenida.

Solución

Se construye la tabla de valores:

A continuación, se dibujan los puntos obtenidos sobre el plano cartesiano:

Por último, se dibuja la curva como se ha indicado anteriormente, es decir, con trazo suave y continuo, comenzando por la izquierda:

La gráfica obtenida es una curva con una intersección en el eje horizontal y otra en el eje vertical. 

Cuando x toma valores muy negativos, la función decrece rápidamente. En la zona media de la gráfica, la curva alcanza un máximo, luego decrece, cruza el eje vertical y finalmente crece rápidamente a medida que x se vuelve muy positivo.

El comportamiento de la función en la zona media antes descrito se aprecia mejor ampliando la región:

Ejemplo 3

Dibuje la gráfica de la función:

Comentar el comportamiento de la función a partir de la gráfica obtenida.

Solución

Como en los ejemplos anteriores, se construye la tabla de valores. Nótese que x=1 debe excluirse, ya que anula el denominador.

Seguidamente, se dibujan los puntos obtenidos sobre el plano cartesiano:

Por último, se traza suavemente la curva. Nótese que existe una barrera en x=1, la cual separa la curva en dos secciones:

La barrera en cuestión es una recta que se denomina asíntota vertical. Nótese que la curva no la atraviesa, aunque se acerca a ella tanto como se desee. 

Por el lado izquierdo de la asíntota, la función decrece rápidamente cuando x toma valores cada vez más cercanos a 1. En cambio, por la derecha, la función crece rápidamente cuando x se acerca cada vez más a 1. A esto se le denomina comportamiento asintótico.

Por F. Zapata.

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Ecuaciones irracionales

Las ecuaciones irracionales con una incógnita, son aquellas en las cuales la incógnita aparece como parte del argumento de una raíz cuadrada, cúbica, cuarta, etc. Son frecuentes en ciencia e ingeniería, por ejemplo en:

• Geometría, para encontrar el radio ‘r’ de una esfera de volumen ‘V’:

• El movimiento rectilíneo uniformemente variado, para encontrar la velocidad ‘v’ del móvil que parte del reposo, dadas la aceleración ‘a’ y la distancia recorrida ‘d’:

• El teorema de Torricelli, según el cual la velocidad ‘v’ de salida de un fluido a través de un orificio, es la misma que tendría si cayera libremente con aceleración ‘g’ desde el nivel de la superficie del tanque, cuya profundidad es ‘h’:

• Oscilaciones: en el sistema masa-resorte, donde ‘m’ es la masa y el resorte tiene una constante ‘k’, que cuantifica si es un resorte más o menos rígido, la frecuencia de oscilación del sistema ‘ω’ viene dada por:

Solución de las ecuaciones irracionales

Para resolver ecuaciones irracionales, es necesario tomar en cuenta que la operación inversa que permite despejar la incógnita dentro de la raíz es la potenciación.

Si la incógnita está bajo una raíz cuadrada, hay que pensar en elevar al cuadrado, si está bajo una raíz cúbica, se eleva al cubo y así sucesivamente. De igual manera, las reglas que se utilizan para resolver otros tipos de ecuaciones, en principio pueden utilizarse en estas ecuaciones, por ejemplo, transponer términos, así como multiplicar y/ dividir por una misma cantidad a ambos lados de la igualdad, cuando sea necesario.

No obstante, hay que advertir que, al transformar la ecuación original, se obtiene un conjunto solución que puede no coincidir en su totalidad con el conjunto solución de la ecuación original.

Soluciones extrañas

Al resolver por los métodos tradicionales una ecuación irracional, puede que se presenten las llamadas soluciones extrañas, (en algunos textos se las llama soluciones espurias), las cuales surgen debido a las transformaciones algebraicas que se llevan a cabo para obtener la ecuación equivalente, cuya resolución sea inmediata.

Durante la implementación de dichos procedimientos, en ocasiones se pasa por alto el hecho de que:

No existen raíces de índice par para cantidades negativas.

Por lo tanto, al resolver la ecuación equivalente, aparecen soluciones que no son válidas en la ecuación original. Estas son, precisamente, las soluciones extrañas.

Para descartarlas, se verifican las soluciones en la ecuación original, antes de darlas como válidas.

Los siguientes ejemplos ilustran todo lo dicho.

Ejemplo 1

Resolver la ecuación:

Solución

Elevando al cuadrado a ambos lados de la igualdad, se obtiene:

Al sustituir este valor en la ecuación original, se obtiene una igualdad. Se deja al lector la tarea de verificarlo.

Ejemplo 2

Resolver la ecuación:

Solución

Esta es una ecuación de segundo grado que puede resolverse factorizando:

Las soluciones son:

Solo x=10, al ser sustituida en la ecuación original, produce una igualdad. Se deja al lector la tarea de comprobarlo. Por lo tanto, la solución buscada es:

Ejemplo 3

Resolver la ecuación:

Solución

Ejemplo 4

¿Cuál es el radio de una esfera cuyo volumen es 33.493 cm³?

Solución

Por F. Zapata

Ecuaciones de segundo grado: solución completando cuadrados

Entre los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, aparte de la utilización de la fórmula cuadrática y la factorización, está el procedimiento de completar cuadrados. Este método, dicho sea de paso, también es útil para otras tareas como pasar la ecuación general de la circunferencia a la forma canónica, así como resolver algunos tipos de integrales.

Estudiante resolviendo una ecuación de segundo grado. Fuente: World Bank Photo Collection.

La idea consiste en transformar la forma original de la ecuación cuadrática:

 ax² + bx + c= 0  

En una ecuación de la forma:

(x + m)² = n

 Una vez reescrita así, se aplica raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad y se despeja la incógnita. 

Evidentemente, hay que hacer algo de trabajo algebraico para encontrar los valores de m y n a partir de los coeficientes a, b y c, y esto se logra comparando con el producto notable:

x² ± 2kx + k² = (x ± k)²

¡Vamos a ilustrar el procedimiento mediante algunos ejemplos!

 

Ejemplo 1

Emplear el método de completar al cuadrado para resolver la siguiente ecuación de segundo grado:

x² ─ 2x ─ 3=0

Solución

 El primer paso es trasladar el término independiente al otro de lado de la igualdad:

x²─2x= 3

Ahora, obsérvese cuidadosamente los términos que están a la izquierda de la igualdad. ¿Qué número haría falta para que fuese un trinomio cuadrado perfecto?

La respuesta es k²=1. El valor de k es la mitad del coeficiente que acompaña a la ‘x’ sin tomar en cuenta el signo y elevada al cuadrado, para que concuerde con el producto notable. Como el coeficiente del ejemplo es 2, su mitad es k=1, y elevada al cuadrado resulta 1.

Téngase presente que si a la izquierda de la igualdad se suma 1², también debe hacerse del mismo modo a la derecha, para que la expresión original no se modifique, así:

x² ─ 2x + 1²= 3 + 1²

Ahora se tiene un trinomio cuadrado perfecto a la izquierda y un número a la derecha de la igualdad:

x² ─ 2x+1² = 3 + 1²

(x─1)² = 4

Despéjese la incógnita aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:

Esto da lugar a dos ecuaciones sencillas de primer grado, la primera es:

x ─1= 2

x₁ = 3

La segunda es:

x+1= ─2

x₂ = ─1

Ambos valores son soluciones de la ecuación dada.

Ejemplo 2

Emplear el método de completar al cuadrado para resolver la siguiente ecuación de segundo grado:

x² ─ 6x ─ 10 = 0

Solución

Se traslada el término independiente al otro de lado de la igualdad:

x²─ 6x= 10

Obsérvese que los términos de la izquierda se reescriben de esta forma:

x² ─ 2∙3x= 10

De manera, k =3 y k² = 9. Este último es el número que hay que sumar a ambos lados de la igualdad:

x² ─ 2∙3x + 9 = 10 + 9

A la izquierda queda un trinomio cuadrado perfecto, y a la derecha, un número:

(x ─ 3)² = 19

Aplicando raíz cuadrada a ambos lados:

 

Ejemplo 3

Complete cuadrados para resolver la ecuación de segundo grado:

3x² + 6x ─ 12 = 0

Solución

Como de costumbre, se traslada el término independiente al otro lado de la igualdad:

3x² + 6x = 12

Puesto que el coeficiente del término cuadrático no es igual a 1, hay que factorizar el lado izquierdo:

3 (x² + 2x) = 12

x² + 2x = 4

Obsérvese que los términos de la izquierda se reescriben de esta forma:

x²+2∙x = 4

De manera, k =1 y k² = 1:

x²+2∙x + 1 = 4 + 1

A la izquierda queda un trinomio cuadrado perfecto, y a la derecha, un número:

(x+1)² = 5

Aplicando raíz cuadrada a ambos lados:

Por F. Zapata

Cocientes notables

Los cocientes notables son divisiones exactas entre binomios o expresiones algebraicas. Como se utilizan con mucha frecuencia en cálculo, el resultado suele memorizarse, en vez de resolver la división cada vez que se requiera, tal como ocurre con los productos notables.

Los casos a estudiar se resumen en el siguiente cuadro:

Como puede verse, la forma general de estos cocientes es:

Donde n es un entero mayor o igual a 2.

El símbolo ± indica las posibles combinaciones entre los signos, aunque no todas conducen a un cociente notable, porque solo se considera de esta manera cuando la división es exacta, es decir, que el residuo sea 0.

El desarrollo general de un cociente notable como este es:

• Nótese que el desarrollo contiene n términos
• Siempre se comienza con el término de la forma x^n-1
• El último término siempre es a^n-1  

Ahora bien, las observaciones siguientes son muy importantes para ayudar a recordar el desarrollo:

• Cuando el divisor es de la forma (x+a), los signos de cada término alternan, siendo positivo siempre el primer término. El signo del último término es (+) cuando n es impar, y (–) cuando n es par
• Si el divisor es de la forma (x−a), los signos de todos los términos son positivos.

Dicho esto, se estudiará cada caso a continuación, con ayuda del teorema del residuo, con el fin de averiguar cuál es un cociente notable, de acuerdo a la definición.

Caso 1

Para que sea un cociente notable, el residuo de la división debe ser 0, lo cual se comprueba a través del teorema del residuo.

Teorema del residuo

Cuando se divide un polinomio P(x) entre un binomio de la forma x−a, el residuo de la división es P(a).

Para aplicar el teorema a la división del caso 1, el divisor se escribe como sigue:

Con P(x) = xⁿ + aⁿ

Si la división es exacta, se cumple que:

Hay dos posibilidades:

El cociente es notable si n es impar, ya que el residuo es 0 en este caso.

Nótese que los signos del desarrollo se alternan; el primer término es positivo, el segundo es negativo, el tercero es positivo y así sucesivamente. El último término es positivo, por ser impar el número de términos, y la fórmula queda así:

Ejemplo 1

Resolver:

Solución

Sabiendo que 2³=8, n=3 y aplicando la fórmula obtenida anteriormente, resulta:

Caso 2

Nuevamente, se aplica el teorema del residuo para averiguar si el cociente es notable o no. Escribiendo:

P(x) = xⁿ + aⁿ

De acuerdo al teorema del residuo, P(a) tendría que ser 0 para obtener una división exacta, sin embargo:

Como el residuo nunca puede hacerse 0, sin importar si n es par o no, este no es un cociente notable.

Caso 3

Al igual que en los casos anteriores, se hace uso del teorema del residuo para analizar el cociente. Reescribiendo como:

Si P(x) = xⁿ − aⁿ

Entonces:

En conclusión, el cociente es notable solamente si n es par. En ese caso, los términos alternan de signo, y por ser par, el número términos, el último siempre es negativo:

Ejemplo 2

Resolver:

Solución

Sabiendo que 81=3⁴, n=4 y utilizando el resultado anterior, se obtiene:

Caso 4

El numerador es P(a) = xⁿ─aⁿ

Esta división siempre es exacta, ya que P(a) = aⁿ ─ aⁿ = 0, sin importar la paridad de n. Además, todos los signos en el desarrollo son positivos, obteniéndose:

Ejemplo 3

Resolver:

Solución

Sabiendo que 32=2⁵, n = 5 y mediante el resultado anterior, el cociente es:

Ejemplo 4

 Resolver el cociente:

Solución

La expresión se reescribe de esta manera:

Resulta que el exponente es n= 3.

Haciendo x = 4z² y a = 7y³, queda así:

Regresando los cambios:

Divisor con exponente mayor que 1

Los casos anteriores se refieren a divisores de la forma x ± a, pero si la ‘x’ está elevado a un exponente entero mayor, como 2, 3, 4 …, en el resultado el exponente disminuye en 2, 3, 4… Asimismo, la primera potencia de ‘a’ es la misma que tiene en el divisor, y va aumentando en 2, 3, 4… unidades. En cuanto a signos y paridades, el criterio es el mismo que se explicó antes.

Ejemplo 5

Efectuar el cociente:

Solución

Sustituyendo el siguiente cambio de variable:

z = x²

El cociente se transforma en uno de los casos anteriores:

Por F. Zapata.