Ejercicios de congruencia de triángulos

Ejercicio 1

En la figura se muestran dos triángulos ΔABC y ΔECF. Se sabe que AC=EF, que AB = 6 y que CF = 10. Además los ángulos ∡BAC y ∡FEC son congruentes y los ángulos ∡ACB y ∡FCB también lo son. Entonces la longitud del segmento BE es igual a:

(i).- 5 (ii).- 3 (iii).- 4 (iv).- 2 (v).- 6.

Solución: Como los dos triángulos tienen un lado de igual longitud AC=EF comprendido entre los ángulos iguales ∡BAC = ∡CEF y ∡BCA = ∡CFE puede decirse que los dos triángulos son congruentes por el criterio ALA.
Es decir ΔBAC = ΔCEF por lo que se tiene que:
BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Pero el segmento que quiere calcularse es BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

De modo que la respuesta correcta es la (iii).

Ejercicio 2

En la figura que sigue se muestran tres triángulos. Se sabe además que los dos ángulos indicados miden 80º cada uno y que los segmentos AB = PD y AP = CD. Encontrar el valor del ángulo X señalado en la figura.

Solución: Usando el criterio de congruencia de triángulos LAL puede afirmarse que los triángulos BAP y PDC son congruentes:

ΔBAP = ΔPDC

Lo que conduce a afirmar que BP = PC, de lo que se sigue que el triángulo ΔBPC es isósceles por lo que ∡PCB = ∡PBC = X.

Si llamamos γ al ángulo BPC se sigue que:
2x + γ = 180º

Y si llamamos β a los ángulos APB y DCP y α a los ángulos ABP y DPC se tiene entonces:
α + β + γ = 180º ya que APB es un ángulo plano.

Además, α + β + 80º = 180º por suma de ángulos internos del triángulo APB. Combinando estas expresiones se tiene que α + β = 100º y que por lo tanto γ = 80º. De donde se sigue que 2X + 80º = 180º y por lo tanto X = 50º.

Ángulos en la circunferencia: Ejercicios Resueltos (primera parte)

Ejercicio 1 (Ángulo central)

La circunferencia de la figura 1 muestra tres ángulos centrales sobre la circunferencia c: ∠AOB, ∠COD y ∠FOE.  Si el radio de la circunferencia es 2 cm determine la longitud de los arcos subtendidos por dichos ángulos centrales en centímetros, sabiendo que las medidas de los ángulos son 15º, 105º y 180º respectivamente.
Solución:
La longitud del arco es igual al producto del radio de la circunferencia por el ángulo medido en radianes. Por lo tanto lo primero es convertir los valores dados en grados a radianes:

15º → 15º (π/180º) = π/12 rad

105º → 105º (π/180º) = 7π/12 rad

180º → 180º (π/180º) = π rad

A⌒B = 2cm (π/12 rad) = 0,524 cm

C⌒D = 2cm (7π/12 rad) = 3, 65cm

F⌒E = 2cm (π rad) = 6,283cm

Ejercicio 2 (Ángulo inscrito y ángulo central)

En la figura 2 se muestran dos ángulos. El primero tiene medida α = 15º y el segundo tiene medida β = 120º. Determine la longitud de los arcos d y e sabiendo que la circunferencia tiene 3 cm de radio.

Solución:

Usando el teorema del ángulo inscrito, el cual afirma que su medida es igual a la mitad de la medida del ángulo central que intercepta el mismo arco, se tiene que:

∠AOC = 2 ∠ABC = 2*15º = 30º = π/6 rad

La longitud del arco A⌒C = d = 3cm * π/6 = 1,57 cm.

∠DOC = 120º = 120º (π/180º) = 2π/3 rad

La longitud del arco D⌒E = e = 3cm * 2π/3 = 2π cm = 6,28 cm.

Ángulos en la circunferencia: Ejercicios propuestos

A continuación se proponen algunos ejercicios sobre ángulos en una circunferencia. 

Ejercicio 1 (Ángulo central)

Figura 1. Ángulos centrales. (Elaborado con geogebra)

La circunferencia de la figura 1 muestra tres ángulos centrales sobre la circunferencia c: ∠AOC, ∠COD y ∠FOE.  Si el radio de la circunferencia es 2 cm determine la longitud de los arcos subtendidos por dichos ángulos centrales en centímetros, sabiendo que las medidas de los ángulos son 15º, 105º y 180º respectivamente.

Ejercicio 2 (Ángulo inscrito y ángulo central)

Figura 2. Un ángulo inscrito y uno central. (Elaborado con geogebra)

En la figura 2 se muestran dos ángulos. El primero tiene medida α = 15º y el segundo tiene medida β = 120º. Determine la longitud de los arcos d y e sabiendo que la circunferencia tiene 3 cm de radio.

Ejercicio 3 (Ángulo inscrito y ángulo central)

Figura 3. Ángulo inscrito ∠ABC y ángulo central ∠AOC que subtienden el mismo arco ⌒AC. (Elaborado con geogebra)

Determinar el valor de α sabiendo que β = 120º. Halle la longitud d de la cuerda si el diámetro de la circunferencia es 4 cm.

Ejercicio 4

Hallar el valor del ángulo BCO sabiendo que el ángulo central tiene medida β = 60º

Figura 4.  Determinar ∠BCO conocido ∠AOC