Derivadas de funciones trascendentes

 Las funciones trascendentes no pueden ser expresadas mediante un número finito de operaciones algebraicas. Por lo tanto, no se escriben como una combinación de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces de polinomios.

Se las llama “trascendentes” justamente porque trascienden a las funciones algebraicas, que sí pueden expresarse como combinaciones de operaciones con polinomios. Por lo tanto, las funciones trascendentes van más allá del álgebra elemental, tal como su nombre lo indica. Involucran conceptos geométricos y de crecimiento que no pueden ser modelados a través de expresiones polinómicas.

Las funciones trigonométricas forman parte del grupo de funciones trascendentes. Fuente: Wikimedia Commons.

Las siguientes funciones son buenos ejemplos de funciones trascendentes:

Como se advierte, estas funciones incluyen a las funciones logarítmicas y exponenciales, así como las funciones trigonométricas (directas e inversas).

Estas funciones son muy importantes en ciencia e ingeniería, ya que se utilizan para describir multitud de fenómenos, de allí que su estudio y el de sus derivadas reviste especial importancia para analizar una gran variedad de fenómenos.

¿Cómo calcular las derivadas de funciones trascendentes?

Las derivadas de las funciones trascendentes pueden calcularse por definición, al igual que se hizo con las derivadas de funciones polinómicas. Es decir, en principio, pueden hallarse mediante el método de los cuatro pasos, como en este ejemplo:

Ejemplo 1

Hallar por definición la derivada de f(x) = sen x.

Solución

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Usando los siguientes límites notables, que están claramente presentes en la expresión anterior:

Resulta que el primero de los límites se anula y el segundo se simplifica a:

Por lo tanto:

Dado que este procedimiento es engorroso, para ahorrar tiempo, las derivadas de las funciones se trascendentes se calculan con la ayuda de tablas y la aplicación de las mismas reglas básicas de derivación para funciones algebraicas.

Tabla de derivadas de funciones trascendentes

Ejemplo 2

Calcular la derivada de:

Solución

De la tabla anterior, tiene:

Donde u’ representa la derivada interna, en otras palabras, la derivada del argumento de la tangente.

Ejemplo 3

Encontrar la derivada de:

Solución

Este ejercicio comienza con la aplicación de la regla para la derivada de suma de funciones, pero como cada término contiene a su vez un producto, se aplica luego la regla del producto, de modo que la derivada tendrá un total de cuatro términos:

Por F. Zapata.

Reglas básicas de derivación

Las reglas de derivación son procedimientos fáciles de memorizar, basados en la definición de la derivada mediante límite, la cual se ha descrito en posts anteriores. Usando estas reglas, se facilita considerablemente el proceso de calcular las derivadas sin tener que llevar a cabo la regla de los cuatro pasos, en vista de que el cálculo de límites requiere, en algunos casos, procedimientos algebraicos un tanto largos y tediosos.

Las reglas de derivación simplifican el cálculo de las derivadas, sin necesidad de emplear la definición con límites. Fuente: Pexels.

A continuación se muestran las reglas más utilizadas para derivar funciones:

1) Derivada de una constante por una función

Donde k es un número real.

Según esta regla, las constantes siempre salen fuera de la derivada, multiplicando el resultado.

2) Regla de las potencias

3) Derivada de una constante

En otras palabras, la derivada de una constante siempre es 0.

4) Derivada de la suma (algebraica)

5) Derivada de un producto

6) Derivada de un cociente

7) Regla de la cadena para funciones compuestas

8) Regla del valor absoluto

A continuación, una serie de ejercicios resueltos ilustra cómo emplear las reglas para obtener la derivada de una función:

En la resolución de este ejercicio, se han empleado las reglas 1, 2, 3 y 4.

Esta derivada se calcula empleando la regla del cociente.

La primera regla en ser aplicada es la regla de las potencias para la expresión fraccionaria que está elevada al cuadrado y enseguida, la regla de la cadena. 

Para encontrar la derivada interna de la fracción, se utilizó la regla del cociente y, donde fue necesario, la regla de las potencias.

Se aplicaron: la regla del cociente, la regla de la cadena, la regla de las potencias y la derivada de una constante.

Para este ejercicio se aplicó la regla del valor absoluto en primer lugar (regla 8) y la regla de la cadena para hallar la derivada interna.

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La derivada como la pendiente de la recta tangente a una curva

 Observa cuidadosamente la montaña rusa de la figura. 

¿Puedes decir en qué tramos la pendiente es más acentuada? ¿Y en cuáles es más suave? ¿Existen puntos donde la pendiente es nula?

Fuente: Adobe Stock.

Para tener una idea, se marcan algunos puntos sobre los tramos y se dibuja la recta tangente a la curva de la montaña rusa allí, en cada punto.

Observa que cada segmento de color tiene distinta pendiente, los hay con pendiente positiva, negativa y nula. Los de color verde son horizontales, por lo tanto, su pendiente es igual a 0.

Los de color fucsia tienen pendiente positiva y los de color naranja la tienen negativa.

Podemos asegurar que la primera parte de la montaña, a la izquierda, así como la sección del lazo a la derecha, tienen pendientes más pronunciadas, mientras que la zona del centro es más suave. Pero en ciencias e ingeniería, hay que cuantificar las cantidades, por lo que es necesario encontrar la manera de calcular la pendiente.

Imagina que la silueta de la montaña rusa es la curva de una función, la cual podemos representar sobre el plano cartesiano:

Se sabe que para calcular la pendiente de cualquiera de estos segmentos se necesitan dos puntos por segmento. Solo así se puede aplicar la conocida fórmula de la pendiente m de una recta:

Donde (x₁,y₁) y (x₂,y₂) son las coordenadas de los dos puntos P₁ y P₂.

La cuestión es que la recta tangente toca a la curva en un solo punto, y se necesitan dos para hallar la pendiente. ¿Dónde obtenemos el otro punto que se necesita para determinar la pendiente?

Lo haremos con ayuda de los límites.

Supongamos que, en vez de una recta tangente, se tiene una recta secante a la curva, que es la recta verde que pasa por los puntos B y D de la figura, por ejemplo.

La pendiente de esta recta es:

Ahora, hagamos que el punto B se vaya acercando poco a poco al punto D. En su viaje imaginario sobre la curva, el punto va tomando sucesivamente las posiciones B´ y B´´, determinando rectas secantes amarillas.

¿Qué sucede si el punto B se acerca muchísimo al punto D, casi confundiéndose?

La respuesta es que cuando B y D estén muy cercanos, se tendrá la recta tangente deseada, cuya pendiente es:

Siempre que el límite exista, por supuesto.

Ahora bien, como ya se sabe:

En cuyo caso, la pendiente de la recta tangente queda así:

 

Pero x₂ —x₁ = Δx, por lo tanto: x₂  = x₁  + Δx.

Haciendo x₁=x, la pendiente de la recta tangente toma la forma:

A este límite especial se le conoce con el nombre de derivada de la función con respecto a x.

Se concluye que:

“La derivada de una función en un punto dado, es la pendiente de la recta tangente a la curva de la función, en ese punto”

Si se quiere calcular la pendiente de la montaña rusa en cada punto, es necesario hallar la derivada en cada punto. Para ello podemos:

i) Dibujar la recta tangente a la curva en cada punto. Conocido el punto de tangencia y otro punto de dicha recta, se puede calcular fácilmente la pendiente con la ecuación para m que se dio anteriormente. El valor de la pendiente coincide con el de la derivada en dicho punto.

ii) Si se conoce la fórmula de la función cuya curva es la montaña rusa, se puede encontrar el límite que acabamos de mencionar. Con esto se tendrá la derivada en cualquier punto de la función. Es más, se puede deducir una serie de reglas para hallar la derivada sin tener necesidad de encontrar el límite cada vez. Estas reglas se desarrollarán más adelante y simplifican muchísimo el cálculo de las derivadas.

Ejemplo

Encuentra la derivada de la función cuya gráfica se muestra, en el punto (1,0).

Solución

 Paso 1

Marca el punto (1,0) en la gráfica.

Paso 2

Dibuja con una regla la recta tangente a la curva en el punto (1,0) y alarga lo suficiente hasta que la recta cruce con el eje vertical. Marca el punto de corte y escribe sus coordenadas.

Paso 3

Calcula la pendiente de la recta con los puntos obtenidos. Este será el valor de la derivada de la función en el punto dado (1,0):

La pendiente es negativa en ese punto, ya que la función decrece en esa zona.

Por F. Zapata

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Cómo calcular una derivada por definición (método de los 4 pasos)

 La derivada de una función se define de manera algebraica a través de un límite, el cual representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado:

Si el límite no existe, entonces simplemente la función no es derivable.

El método de los cuatro pasos describe la secuencia de pasos para encontrar algebraicamente la derivada de una función a través de su definición por límite, procurando minimizar los errores al momento de plantearla:

Paso 1

Calcular:

Paso 2

Encontrar:

Paso 3

Plantear el cociente:

Paso 4

Tomar el límite:

Es innegable que el procedimiento resulta a veces un tanto engorroso, sobre todo si la expresión algebraica de la función no es sencilla. Por este motivo, los matemáticos han deducido las reglas de derivación a partir de la definición, e incluso es posible derivar numéricamente.

No obstante, cuando se inicia en el tema del cálculo diferencial, el hecho de calcular la derivada por definición es muy útil para desarrollar una mejor intuición matemática del concepto. Por eso, al comienzo de los cursos, siempre se le pide a los estudiantes que encuentren algunas derivadas a través del límite.

Con algo de práctica no tiene que ser difícil, siempre que se sigan los pasos indicados y se opere con cuidado. El tema de la factorización es muy relevante aquí, así como las indeterminaciones de tipo 0/0 que se han estudiado previamente, por eso recomendamos revisar los posts dedicados a estos temas, cuyos enlaces aparecen a continuación:

https://www.todociencia.org/2023/11/factorizar-una-expresion-algebraica.html

https://www.todociencia.org/2023/11/racionalizacion.html

https://www.todociencia.org/2021/11/como-resolver-un-limite-de-la-forma-00.html

En todo caso, el resultado del límite, si existe, será la derivada de la función.

A continuación, algunos ejemplos que ilustran el método descrito para hallar derivadas por definición. En el primero, el límite es fácil de encontrar, pero, en los ejemplos 2 y 3, es un poco más engorroso, ya que requiere un buen manejo de productos notables, racionalización y simplificación de términos semejantes.

 

Ejemplo 1

Encontrar la derivada de la siguiente función mediante la definición por límite:

Solución

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Es importante destacar que el límite es lo último que se lleva a cabo y solo cuando la expresión está totalmente simplificada. Esto es así para que el procedimiento de tomar el límite no se complique.

La derivada existe cuando “h” se cancela de tal forma que la indeterminación desaparece.

Ejemplo 2

Encontrar la derivada de la siguiente función mediante la definición por límite:

Solución

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Este límite se resuelve mediante la racionalización del numerador, que consiste en multiplicar y dividir la expresión por el conjugado de dicho numerador.

Para una mejor comprensión, el conjugado se ha resaltado en otro color. El observador atento notará que el denominador de la expresión resultante no se trabaja, sino que se deja tal cual como está, con la esperanza de que, al final, la indeterminación desaparezca.

Puesto que la función es derivable, afortunadamente esto es lo que sucederá, no sin antes hacer un poco de trabajo algebraico:

En último lugar, proponemos un ejercicio que queda reservado a los más audaces, cuyo límite también se resuelve mediante racionalización del numerador, pero con más trabajo algebraico. Igual se deja la solución paso a paso:

 

Ejemplo 3

Encontrar la derivada de la siguiente función mediante la definición por límite:

Solución

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Por F. Zapata