Aunque normalmente se piensa en el equilibrio como una situación estática y carente de movimiento, lo cierto es que un cuerpo puede tener velocidad y aun así estar en equilibrio, solo que, en tal caso, el equilibrio será dinámico, mientras que cuando su velocidad es nula, el equilibrio es estático.
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| Estas rocas apiladas cerca de la costa son un buen ejemplo de equilibrio estático. Aunque no son partículas, sino objetos con tamaño apreciable, se las puede modelar como tales y obtener información sobre cómo las fuerzas que actúan sobre ellas las mantienen en equilibrio. Fuente: Pexels. |
En cualquiera de los dos casos, siempre y cuando se trabaje con el modelo de partícula, la condición para el equilibrio es:
Para que el diagrama resulte útil, es preciso:
1.- Identificar correctamente el cuerpo cuyo equilibrio se quiere estudiar.
2.- Seleccionar un sistema de coordenadas apropiado, cuyo origen se hace coincidir con el objeto en cuestión.
3.- Dibujar correctamente todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Normalmente el peso siempre está presente y está dirigido verticalmente hacia el suelo, pase lo que pase, a menos que se especifique lo contrario, como, por ejemplo, cuando se diga expresamente que el objeto es liviano o ligero.
4.- Recabar toda la información numérica disponible acerca de dichas fuerzas: módulo, dirección y sentido de cada una.
Una vez realizados estos pasos, se aplica la ecuación mostrada y, mediante procedimientos algebraicos, se calculan los valores de las incógnitas solicitadas. Las fuerzas pueden estar aplicadas en una dimensión, en dos dimensiones y en tres dimensiones y, en cualquier caso, es preciso operar correctamente con vectores, ya que la fuerza es una cantidad vectorial.
Ejemplo de equilibrio en una dimensión
Se cuelgan dos masas m1 = 5 kg y m2 = 8 kg de las cuerdas livianas, homogéneas e inextensibles mostradas en la figura, de manera que el sistema está en equilibrio estático. ¿Cuáles son las tensiones en cada cuerda? La cuerda DC es capaz de soportar una tensión máxima de 140 N, ¿a partir de qué valor de m2 romperá la cuerda?
Los respectivos diagramas de cuerpo libre para cada masa se muestran en la figura de arriba, en la cual se observa que todas las fuerzas están dirigidas verticalmente, algunas hacia arriba y otras hacia abajo. Se le asigna el signo + a las fuerzas que apuntan hacia arriba, y signo — a las que apuntan hacia abajo.
Dichas fuerzas son las siguientes:
Sobre m1
- TCD (rojo)
- W1 (naranja)
- TBA (verde)
Sobre m2
- TAB (verde)
- W2 (morado)
Nótese que las tensiones TAB y TBA tienen la misma magnitud:
TBA = TAB
Enseguida se aplica la segunda ley de Newton a cada masa:
Puesto que el peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad, se tiene:
- W1 = 5 kg × 9.8 m/s2 = 49.0 N
- W2 = 8 kg × 9.8 m/s2 = 78.4 N
De la segunda ecuación se deduce fácilmente que:
TAB = W2 = 78.4 N
Mientras que de la primera:
TCD = TAB + W1
TCD = 78.4 N + 49.0 N = 127.4
Puesto que este valor es menor a 140 N, la cuerda CD no se rompe, para que eso suceda, hagamos TCD exactamente igual a 140 N, dejando fijo el valor de m1 y despejando TAB en ese caso:
TAB = TCD – W1 = 140 N — 49.0 N = 91 N
Y se sustituye este valor en la segunda ecuación, para despejar W2:
W2 = TAB = 91 N
Como W2 = m2g= 91 N, entonces:
m2 = 91 N/9.8 m/s2 = 9.3 kg
Entonces, al colgar una masa de 9.3 kg o mayor, la cuerda CD se romperá.
Ejemplo de equilibrio en dos dimensiones
¿Cuáles son las magnitudes de las tensiones en las cuerdas livianas para que el motor de la figura se mantenga suspendido en equilibrio? El aro A por el que pasan las cuerdas también es liviano.
Solución
El motor puede considerarse como una partícula suspendida en equilibrio estático a través de la cuerda AC. En tal caso, esta soporta un peso de 2452 kN (se lee ‘kilo newton’), y la tensión a través de ella será igual a este valor. Las tensiones en las cuerdas AD y AB serán diferentes, para hallarlas, se requiere el diagrama de cuerpo libre en el aro liviano A (ver el post diagramas de cuerpo libre pinchando en el enlace):
La tensión TD se encuentra a lo largo del eje horizontal en sentido negativo y se le asigna signo —, entonces se puede escribir:
TD = TDx
No está demás insistir en el hecho de que un vector se denota con letra negrita, mientras que su magnitud, que es un escalar, se denota con letra común.
Por su parte, la tensión TB está en el plano xy y tiene dos componentes, que por trigonometría elemental, son:
- TBx = TB × cos 30o = 0.87 TB
- TBy = TB × sen 30o = 0.50 TB
La ecuación:
Es vectorial, lo cual significa que, en el caso de dos dimensiones, se desglosa en dos ecuaciones:
- TBx — TDx = 0
- TBy — 2452 = 0
De esta última es inmediato deducir que:
TBy = 2452 kN
Y puesto que TBy = 0.50 TB, se concluye que:
TB = 2452 kN / 0.5 = 4904 kN
Mientras que de TBx — TDx = 0, se desprende que:
TDx = TBx
Por lo tanto:
TDx = 0.87 TB = 0.87× 4904 kN = 4266.5 kN
Solución alternativa mediante el teorema de Lamy
Las tres fuerzas del diagrama de cuerpo libre del anillo son coplanares y concurrentes, por lo tanto, el teorema de Lamy se puede aplicar para determinar sus magnitudes. El teorema dice así:
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| Tres fuerzas coplanares y concurrentes, a las cuales se puede aplicar el teorema de Lamy. Fuente: Wikimedia Commons. |
Comparando cuidadosamente esta figura con la del diagrama de cuerpo aislado del aro a través del cual pasan las cuerdas, se llega a la siguiente conclusión:
- A = TD
- B = TB
- C = 2452 kN
- α = 120o
- β = 90o
- γ = 150o
Entonces:
Importante: en ambas soluciones se utilizaron los valores sen 30º = 0.5; cos 30º= 0.87, téngase presente que las calculadoras ofrecen más decimales para el coseno de 30º y que, por lo tanto, los resultados pueden variar ligeramente. La persona que lleva a cabo los cálculos es quien decide cuántos decimales necesita tomar.
Por F. Zapata
