Vectores: 8 ejercicios con solución detallada

 

Ejercicio 1 

Vectores en el plano

Dado el vector v = 3 i + 5 j, se pide:

a) Dibujarlo sobre el plano cartesiano

b) Hallar su módulo

c) Calcular su dirección

d) Encontrar el vector unitario en la dirección de v.

Solución a

Gráfica del vector v realizada con Geogebra.

Solución b

La magnitud del vector se calcula a través de:

Solución c

La dirección es el ángulo θ que forma el vector con el eje +x, dada por:

Solución d

El vector unitario se calcula mediante:

Ejercicio 2 

Suma de vectores en el plano

Dados los vectores:

v = −3 i + 3 j

u = −4 i + 3 j

w = i + 5 j

t = −3 i + j

Hallar su suma:

a) Gráficamente

b) Analíticamente

Solución a

El vector suma S se encuentra gráficamente por el método del polígono, teniendo en cuenta que el orden de los sumandos no altera la suma, ya que esta es conmutativa.

Solución b

v = −3 i + 3 j

u = −4 i + 3 j

w =   i  + 5 j

                 t = −3 i + j              +

-----------------------------------

      S = −9 i +12 j

Ejercicio 3 

Producto entre un escalar y un vector

Sea el vector v = 4 i + 6 j. ¿Cuál es el vector u cuya magnitud es tres veces mayor a la de v? Encuentre las magnitudes de v y u.

Solución 

u = 3v = 3 (4 i + 6 j) = 12 i + 18 j

La magnitud de v se encuentra mediante la fórmula:

La magnitud de u es el triple, por lo tanto:

u = 3√52

Como se observa del gráfico, ambos vectores tienen la misma dirección. Dado que α = 3, el vector u tiene el mismo sentido que v, y su magnitud es tres veces mayor.

Ejercicio 4 

Producto escalar de dos vectores

Dos vectores u y v tienen magnitudes respectivas de u = 5.0 y v = 10.2 unidades, formando entre sí un ángulo de ϕ = 37º. Calcular su producto escalar.

Solución 

Aplicando la definición de producto escalar:

u • v = u∙v∙cos ϕ = 5.0 × 10.2 × cos 37º = 39.0

Ejercicio 5 

Producto escalar de dos vectores

Dados los siguientes vectores:

u = 3 i + 4 j + 8 k

v = −2 i − j + 5 k

 

Hallar:

a) El módulo de cada uno

b) Su producto escalar

c) El ángulo entre los vectores

a) 

Solución a

El módulo de cada vector se calcula a través de la fórmula:

Solución b

Dado que los vectores están representados en términos de los vectores unitarios i, j y k, se emplea la fórmula:

u • v = (u_x v_x) + (u_y v_y) + (u_z v_z)

u • v = 3 × (−2) + 4 × (−1) + 8 × 5 = −6 −1 + 40 = 33

Solución c

Para encontrar el ángulo ϕ entre los vectores, hay que recurrir a las dos fórmulas que se tienen para el producto escalar, la primera es la definición:

u • v = u∙v∙cos ϕ

La segunda es la que se dedujo en el apartado anterior, cuando se conocen los vectores en términos de los vectores unitarios i, j y k:

u • v = (u_x v_x) + (u_y v_y) + (u_z v_z)

Las dos expresiones son equivalentes y se igualan:

u • v = u∙v∙cos ϕ = (u_x v_x) + (u_y v_y) + (u_z v_z)

De aquí se despeja cos ϕ:

Sustituyendo valores:

ϕ = arccos 0.6386 = 50.3º

Ejercicio 6 

Producto vectorial de dos vectores

Sean los vectores:

v = 4 i −5 j + 2 k

u = i + 6 j − 3 k

Calcular su producto cruz.

Solución 

Resolviendo los determinantes indicados, se obtiene:

v × u = 

[(−5) × (−3)−2 × 6] i − [4 × (−3)−2 × 1] j + [4 × 6−(−5) × 1] k = [15 − 12] i − [−12 − 2] j + [24 + 5] k  = 3 i +14 j + 29 k

Ejercicio 7 

Producto vectorial de dos vectores

Suponga que los vectores v y u del ejercicio anterior forman dos de los lados de un paralelogramo. ¿Cuál es el área de dicho paralelogramo?

Solución

El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial entre los vectores v y u:

v × u = 3 i +14 j + 29 k

El módulo del vector w = v × u viene dado por:

Por lo tanto, el valor numérico del área es 32.3 unidades de área.

Ejercicio 8 

Vectores en el espacio

Encontrar el ángulo entre los vectores a y b mostrados en la siguiente figura:

Solución

El primer paso es expresar los vectores en términos de sus componentes cartesianas. En el dibujo mostrado, se puede fijar el origen (0,0,0) en la esquina mostrada en verde y a partir de allí, expresar los vectores en términos de sus componentes. Desde luego, el origen se podría haber fijado en cualquier otro punto.

De acuerdo a esta elección, el vector a, en color azul, tiene su origen en el punto (0,0,4) y su punto de llegada en (0,6,0), por lo tanto, sus componentes se determinan restando la coordenada final y la coordenada inicial, como se muestra:

a_x = 0 – 0 = 0

a_y = 6 – 0 = 6

a_z = 0 – 4 = – 4

Entonces, a se puede escribir como:

a = 0 i + 6 j – 4 k

Por su parte, el vector b en color rojo, también tiene su origen en el punto (0,0,4) y su punto de llegada en (5,6,4). Entonces, sus componentes son:

b_x = 5 – 0 = 5

b_y = 6 – 0 = 6

b_z = 4 – 4 = 0

Por lo que se puede escribir como:

b = 5 i + 6 j + 0 k

Para determinar el ángulo ϕ entre ellos, se hará uso de la definición de producto escalar de dos vectores:

a • b = a∙b∙cos ϕ

De acuerdo a esto, se despeja cos ϕ:

Enseguida se calcula el producto escalar entre los vectores:

a • b = (a_x b_x) + (a_y b_y) + (a_z b_z)

a • b = 0 × 5 + 6 × 6 + (–4 × 0) = 0 +36+0 = 36

El siguiente paso es calcular los módulos de cada vector:

Al sustituir en el despeje del coseno, queda:

Y a través del arco coseno de este valor, resulta:

ϕ = 50.3º

Ejercicio resuelto de vectores en tres dimensiones

 Mecánica - Estática -
Equilibrio: Primer Examen Parcial (Ejercicio 1)

El vector fuerza en dos y tres dimensiones

 

En el post anterior, se describió la forma de trabajar con un sistema de fuerzas concurrentes para encontrar su resultante. Esto es sencillo si se conocen las componentes rectangulares de la fuerza o si esta se expresa en forma polar, es decir, conociendo el módulo de la fuerza y el ángulo que forma con algún eje de referencia.

Ahora se verá un concepto muy importante en estática, que es la línea de aplicación de una fuerza, también llamada línea de acción.

Los niños ejercen fuerzas sobre la cuerda, dirigidas a lo largo de la misma. Fuente: publicdomainvectors.org.

Línea de aplicación de una fuerza

La línea de acción o de aplicación de una fuerza es aquella recta que la contiene. Si se determina un vector unitario en la dirección de dicha línea de acción, al cual se llamará:

y que tenga el mismo sentido que la fuerza, y además se conoce su módulo, el vector fuerza F se expresa inequívocamente a través de:

Este vector unitario se puede calcular fácilmente, conociendo dos puntos que pertenezcan a la línea de acción.

Ejemplo 1

La estructura que se muestra en la figura forma parte de una armadura. Los miembros AB, AC y AD de la misma ejercen fuerzas F_AB, F_AC y F_AD sobre la junta A. Se sabe que la magnitud de F_AB es F_AB = 4 kN, y además, que la fuerza resultante es nula. ¿Cuáles son las magnitudes de F_AC y F_AD?

Fuente: Bedford. Estática.

Solución

En este ejercicio no se conocen directamente los ángulos que forman las fuerzas con alguno de los ejes coordenados, aunque se pueden calcular a través de trigonometría elemental. Sin embargo, se pueden calcular fácilmente los vectores unitarios dirigidos a lo largo de la línea de acción de cada fuerza, y en el sentido de estas, puesto que se conocen las coordenadas de los extremos de los miembros en la armadura, según la imagen.

Cálculo de los vectores unitarios

De acuerdo a la definición de vector unitario:

Siguiendo la ecuación:

Cada una de las fuerzas participantes se escriben como:

 

F_AB = 4∙ (0.894 i + 0.447 j) kN = (3.576 i + 1.788 j) kN

F_AC = F_AC ∙ (−0.970 i + 0.243 j) kN = (−0.970∙F_AC i + 0.243∙F_AC j) kN

F_AD = F_AD ∙ (−0.555 i − 0.832 j) kN = (−0.555 ∙F_AD i − 0.832 ∙F_AD j) kN

 

Dado que el enunciado afirma que la suma vectorial de las fuerzas es nula, se sigue que:

(3.576 i + 1.788 j) kN + (−0.970∙F_AC i + 0.243∙F_AC j) kN + (−0.555 ∙F_AD i − 0.832 ∙F_AD j) kN = 0

Desglosando esta ecuación vectorial en dos ecuaciones, una para cada componente, resulta:

∑F_x = 3.576 − 0.970∙F_AC − 0.555 ∙F_AD = 0

∑F_y = 1.788 + 0.243∙F_AC − 0.832 ∙F_AD = 0

 Es fácil formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que son las magnitudes F_AC y F_AD:

− 0.970∙F_AC − 0.555 ∙F_AD = − 3.576

   0.243∙F_AC − 0.832 ∙F_AD = − 1.788

Cuyas soluciones son:

F_AC = 2.105 kN

F_AD = 2.764 kN

Ejemplo 2

 El cable AB ejerce una fuerza F_AB de magnitud igual a 200 lb-fuerza en el punto A, dirigida desde A hasta B. Por su parte, el cable AC ejerce una fuerza F_AC de magnitud igual a 100 lb-fuerza, dirigida desde A hasta C. ¿Cuál será la fuerza resultante en A?

Solución

Aquí es un poco más complicado el cálculo de ángulos, por tratarse de un problema en tres dimensiones, pero el método que se ha explicado antes para trabajar con las componentes de las fuerzas, facilita en gran medida el trabajo.

Cálculo de los vectores unitarios

Como siempre, el primer paso es calcular los vectores unitarios en la dirección de las línes AB y AC. La figura indica las coordenadas del punto A:

A (6, 0, 10) pies

Y del dibujo, se conocen las coordenadas de los puntos B y C:

B (0, 6, 8)

C (8, 6, 0)

Conociendo las coordenadas de cada punto, se forman los vectores unitarios como en el ejemplo anterior, solo que en este caso tendrán una componente adicional. Nótese también, que a diferencia del ejemplo anterior, el punto A no está en el origen, el cual se ha situado en la intersección de los ejes coordenados:

Y sabiendo que, según el enunciado:

F_AB = 200 lb

F_AC = 100 lb

Entonces:

F_AB = 200 ∙ (−0.688 i + 0.688 j − 0.229 k) lb = −137.6 i + 137.6 j – 45.8 k lb

F_AC = 100 ∙ (0.169 i + 0.507 j − 0.845 k) lb = 16.9 i + 50.7 j – 84.5 k lb

Una vez conocidas las fuerzas, la resulta se encuentra simplemente sumando componente a componente:

 

F_R = F_AB + F_AC = (−137.6 +16.9) i + (137.6 + 50.7) j + (– 45.8– 84.5) k = −120.7 i + 188. 3 j – 130.3 k lb

 

 

 

El vector fuerza

 

Las fuerzas surgen cuando los distintos objetos interactúan entre sí, ya que de esta manera surgen acciones como cambios en el movimiento y deformaciones. Las fuerzas son magnitudes vectoriales y todos los cuerpos en la Tierra y sus inmediaciones están sometidos a ellas.

Por lo tanto, las fuerzas se caracterizan por:

• Tener un punto de aplicación, al ser aplicadas sobre un objeto extendido.
• Seguir determinada dirección y sentido
• Poseer una magnitud, que indica la intensidad. A mayor magnitud, mayor intensidad de la fuerza.

Las fuerzas pueden clasificarse de distintas maneras. Por ejemplo, pueden ser de:

• Acción a distancia
• De superficie

Fuerzas de acción a distancia

Son aquellas fuerzas que surgen entre objetos que no necesariamente están en contacto unos con otros. Ejemplos de fuerzas de acción a distancia son el peso, la fuerza electrostática y la fuerza magnética.

La fuerza magnética ejercida por el imán es un ejemplo de fuerza de acción a distancia. Sin embargo, el imán no atrae cualquier metal, las monedas de níquel se adhieren al imán sin problema, pero monedas de oro no, al menos en circunstancias normales, ya que no todos los metales tienen las mismas propiedades magnéticas. Fuente: Pixabay.

Fuerzas de superficie

Son fuerzas que aparecen únicamente cuando existe superficie de contacto entre los objetos que interactúan, como sucede con los rozamientos.

Otra forma de clasificar a las fuerzas es esta:

• Fuerzas de volumen, másicas o volumétricas
• Fuerzas superficiales

Fuerzas de volumen

Son aquellas que actúan sobre todas las partículas que componen un cuerpo. El peso es un ejemplo de fuerza de volumen o fuerza volumétrica, así como la fuerza eléctrica. Si se denota al peso como P, su magnitud P se calcula a través de P = mg, donde m es la masa del objeto y g es el valor de la aceleración de la gravedad, normalmente 9.81 m/s².

Fuerzas superficiales

Come se dijo previamente, estas fuerzas aparecen cuando hay superficies en contacto, bien sea tangencialmente a ellas, o perpendicularmente. No están relacionadas con la masa del cuerpo, como sucede con el peso.

Por ejemplo la fuerza normal surge entre dos superficies en contacto, siendo perpendicular a la superficie que la ejerce, en cambio el roce es paralelo a las superficies en contacto (tangencial).

A su vez, las fuerzas superficiales pueden ser:

• Simples
• Compuestas

Basta un solo vector para representar una fuerza de superficie simple, como el roce o la normal. Ellas tienen la virtud de modificar el movimiento de un objeto, tal es el caso del rozamiento, que reduce la velocidad de los objetos. 

En cambio las fuerzas compuestas como el cizallamiento o corte, tienden a deformar o romper los objetos, mientras que las tensiones o las compresiones lo alargan o encogen. En la representación gráfica de las fuerzas compuestas intervienen dos vectores.

Unidades de la fuerza

En el Sistema Internacional de unidades, abreviado SI (del francés “Système International d’Unités”), la unidad para la fuerza es el newton, abreviado N, en honor al físico inglés Isaac Newton (1643-1727).

En cuanto al sistema anglosajón de unidades, de uso común en los Estados Unidos, la unidad para la fuerza es la libra, que se abrevia lb. La equivalencia entre ambas unidades es la siguiente:

1 lb = 4.448 N

Son frecuentes los prefijo, como el kilo (abreviado k), que representa 1.000, o el mega (abreviado M), que es 1.000.000. De esta forma, 50 kN equivalen a 50.000 N.

Tratamiento analítico de las fuerzas

Para tratar analíticamente con las fuerzas, se las puede expresar en términos de sus componentes cartesianas, ya que son magnitudes vectoriales:

F = F_x i + F_y j + F_z k

Ejemplo 1

La componente F_x de cierta fuerza F es igual a 120 Ib y se sabe que la componente F_y es negativa. Si la magnitud de F es de 150 Ib, hallar:

a) El valor de la componente Fy en lb y en N.

b) Determinar una expresión para F.

Solución a

La fuerza buscada es de la forma F = F_x i + F_y j, ya que solo tiene dos componentes, y su magnitud viene dada por:

Usando la equivalencia entre libra y newton se obtiene:

90 lb = 400.34 N

Solución b

El vector F queda expresado así:

F = 120 i – 90 j lb = 533.79 i – 400.34 j N

El signo negativo que se antepone a la componente F_y proviene de la información dada por el enunciado, según la cual dicha componente es negativa.

La fuerza resultante

Con frecuencia hay más de una fuerza aplicada sobre un objeto, ya sea que se esté moviendo o se encuentre en reposo. La fuerza resultante F_R se define como la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto.

F_R = F₁ + F₂ + F₃ + …. = ∑ F_i 

Conocer la fuerza resultante es muy importante, ya que si se anula, el objeto estará en equilibrio, es decir, no tendrá aceleración, o lo que es igual, su aceleración es nula. Esto no significa que necesariamente esté en reposo, ya que podría tener movimiento rectilíneo uniforme, es decir, ir moviéndose con velocidad constante. Por tal motivo se habla de equilibrio estático (objeto en reposo) y equilibrio dinámico (objeto con velocidad constante).

Resultante de un sistema de fuerzas coplanares y concurrentes

Las fuerzas coplanares, como indica su nombre, son aquellas que se encuentran sobre un mismo plano. Por su parte, las fuerzas concurrentes tienen todas el mismo punto de aplicación.

Encontrar la fuerza resultante de un sistema de fuerzas concurrentes y coplanares es muy sencillo, ya que para ello se utilizan las reglas vistas para la suma de vectores. La siguiente figura muestra un conjunto de cuatro fuerzas coplanares (todas están en el plano xy), las cuales actúan sobre el mismo punto.

Fuente: Bedford. Estática.

Ejemplo 2

La suma vectorial del sistema de fuerzas coplanares y concurrentes de la figura es nula. Las magnitudes de F_B, F_C y F_D son conocidas. Calcular la magnitud de F_A y el valor del ángulo α.

F_B = 800 lb; F_C = 1000 lb;  F_D = 900 lb

Solución

Este problema se resuelve fácilmente hallando la fuerza resultante e igualando su magnitud a 0, con el método de las componentes, ya que se conocen los ángulos y las magnitudes para tres de las fuerzas que participan:

F_Ax = − F_A ∙ cos α

F_Ay = − F_A ∙ sen α

 

F_Bx = − F_B ∙ cos 70º = − 800 ∙ cos 70º lb = − 273.62 lb

F_By = F_B ∙ sen 70º = 800 ∙ sen 70º lb = 751.75 lb

 

F_Cx = F_C ∙ cos 30º = 1000 ∙ cos 30º lb = 866.03 lb

F_Cy = F_C ∙ sen 30º = 1000 ∙ sen 30º lb = 500.00 lb

 

F_Dx = F_D ∙ cos 20º = 900 ∙ cos 20º = 845.72 lb

F_Dy = −F_D ∙ sen 20º = − 900 ∙ sen 20º = − 307.82 lb

De inmediato se encuentra la sumatoria de todas las fuerzas a lo largo el eje x y se iguala a 0:

∑ F_Rx = −F_A ∙ cos α − 273.62 + 866.03 + 845.72 = 0

Y se obtiene la siguiente ecuación:

−F_A ∙ cos α = 273.62 − 866.03 − 845.72 lb = −1438.13 lb

F_A ∙ cos α = 1438.13 lb

Se lleva a cabo un procedimiento análogo para las fuerzas sobre el eje y:

∑ F_Ry = −F_A ∙ sen α + 751.75 + 500.00 − 307.82 lb= 0

− F_A ∙ sen α = − 751.75 − 500.00 + 307.82 lb = − 943.18 lb

F_A ∙ sen α = 943.18 lb

 

Y ahora se dividen los resultados obtenidos:

Por lo tanto, α = 33.3º

Una vez conocido el ángulo, ya se puede despejar la magnitud de F_A:

F_A ∙ sen α = 943.18 lb

F_A ∙ sen 33.3º = 943.18 lb → F_A = 1718 lb

Por Fanny Zapata

Vectores en tres dimensiones

 

Los vectores en tres dimensiones o vectores en el espacio, requieren tres coordenadas para ser representados, y hay varias notaciones disponibles, como hemos visto en posts anteriores. Por ejemplo, se pueden denotar como:

v = < v_x, v_y, v_z >

v = v_x i + v_y j + v_z k

Vector en tres dimensiones. Fuente: F. Zapata.

Donde v_x, v_y y v_z representan las coordenadas cartesianas del vector v, el cual se escribe con letra negrita en texto impreso, o bien con una flechita encima, también en texto impreso o manuscrito, así:

Para representar un vector en el espacio, se hace uso de un sistema de coordenadas cartesianas, al igual que con los vectores en el plano. En la figura de arriba se tiene un vector v, cuyas componentes cartesianas son x₁, y₁ y z₁. Las componentes x₁, y₁ yacen sobre el plano xy, el cual podría representar el suelo, por ejemplo. Entonces la componente z₁ es vertical.

La magnitud del vector, que no es más que su módulo, se representa sin flecha encima en texto manuscrito, o sin negritas en texto impreso, y se calcula mediante:

   (1)

Cosenos directores

En la siguiente imagen se muestra el vector v, que forma un ángulo con cada uno de los ejes coordenados. El ángulo α es el ángulo entre v y el eje x, el ángulo β es el que se forma entre v y el eje y, y por último, el ángulo γ se forma entre v y el eje z.

Cosenos directores. Fuente: Geogebra. Mod. por F. Zapata.

Si se conocen estos tres ángulos, se tiene la dirección del vector v, y su medida se calcula muy fácilmente, a través de la proyección del vector v sobre cada uno de los ejes coordenados, que no es otra cosa que la respectiva componente del vector. Así:

• ·       v_x = v ∙ cos α                (2)
• ·         v_y = v ∙ cos β
• ·         v_z = v ∙ cos γ

Los cosenos de cada uno de estos ángulos reciben el nombre de cosenos directores. Puede formarse un vector unitario en la dirección de v con los cosenos directores, partiendo de la definición de vector unitario:

(3)

 Por lo tanto:

 = cos α i + cos β j + cos γ k      (4)

Puesto que la magnitud de cualquier vector unitario es 1, entonces una importante propiedad de los cosenos directores es:

(5)

Ejemplo 1

Calcular los cosenos directores del vector v mostrado en la figura de arriba y la medida de α, β y γ. Además, calcular el vector unitario en la dirección de v.

Solución

En primer lugar se calcula la magnitud del vector mediante (1):

Las componentes de v son: v_x = 2; v_y = 3; v_z = 3, por lo tanto, de acuerdo a (2):

Y el vector unitario u en la dirección de v es, según la ecuación (4):

u = 0.4264 i + 0.6396 j + 0.6396 k

 

Ejemplo 2

En la siguiente figura, la línea que une al extremo de la fuerza F con el punto A es paralela al eje y, y dicho punto A se encuentra en el plano xz, además, se sabe que la componente F_x vale 100 N. Determinar:

 
a) La magnitud de F

b) Las componentes de F

c) Los ángulos α, β y γ que forma F con los ejes coordenados.

Fuente: Estática. Bedford.

Solución a

Del diagrama se conoce el ángulo de proyección de F con el plano xz, cuya medida es 20º y también el ángulo que esta proyección forma con el eje y, de medida igual a 60º. La proyección de F sobre el plano xz es F ∙ cos20º, y la proyección de esta, sobre el eje x, es F_x, cuyo valor es conocido según el enunciado, siendo de 100 N, por lo tanto:

F_x = (F ∙ cos20º)∙cos 30º = 100 N

La magnitud de F es, pues:

F = 100 / (cos 20º ∙ cos 30º) N = 122.88 N

Solución b

De la figura se ve que el ángulo β que forma el vector F con el eje y es 70º. Entonces:

F_y = 122.88 ∙ cos 70º N = 42.03 N

Ahora bien:

F_z = (F ∙ cos20º)∙cos 60º = (122.88∙ cos20º)∙cos 60º N = 57.73 N

Y la componente F_x ya es conocida por el enunciado, entonces:

F_x = 100 N ; F_y = 42.03 N ; F_z = 57.73 N

Solución c