Factorización por agrupación de términos

 Algunos polinomios, cuyos términos en principio no tienen factor común, pueden ser factorizados agrupando varios términos que sí tengan un factor común. Estos polinomios deben poseer número par de términos, de manera de agrupar de dos en dos, de tres en tres y así sucesivamente.

Fuente: Wannapik

Por ejemplo, el polinomio:

ax + ay + 4x + 4y

No puede factorizarse directamente por factor común, sin embargo, obsérvese que se puede escribir en dos grupos como sigue:

ax + ay + 4x + 4y = (ax+ay) + (4x +4y)

En el primer grupo, el factor común es “a”, y en el segundo grupo, el factor común es “4”:

ax + ay + 4x + 4y = (ax+ay) + (4x +4y) = a(x+y) + 4(x+y)

Nótese que surge un nuevo factor común en los términos: (x+y), por lo tanto:

ax + ay + 4x + 4y = (ax+ay) + (4x +4y) = a(x+y) + 4(x+y)= (x+y)(a+4)

Esta técnica se denomina factorización por agrupación de términos, debido a que es preciso agrupar antes de intentar factorizar. En ocasiones, un polinomio se puede factorizar de esta manera en más de una forma.

 

Ejemplo 1

Factorizar el polinomio:

x³ +3x² ─ 6x ─18

Solución

x³ +3x² ─ 6x ─18 = (x³ +3x²) ─ (6x +18) = x² (x+3) ─ 6(x+3) = (x+3)(x² ─ 6)= (x+3)(x+√6)(x─√6)

 

Ejemplo 2

Factorizar el polinomio:

8bx + 8ax ─ ay + 10a ─ by + 10b

Solución

No hay un factor común a todos los términos, por lo tanto, se intenta factorizar en dos grupos de 3 términos:

8bx + 8ax ─ ay + 10a ─ by + 10b = (8ax─ay+10a) + (8bx─by+10b) =

= a(8x─y+10) + b(8x─y+10) = (a+b) (8x─y+10)

Ejemplo 3

Factorizar el polinomio:

a²x² ─3bx² +a²y² ─ 3by²

Solución

a²x² ─3bx² +a²y² ─ 3by² = (a²x² ─3bx²) + (a²y² ─ 3by²) = x² (a² ─ 3b) + y² (a² ─ 3b) = (x² + y²) (a² ─ 3b)

Interés compuesto (II parte)

 Por F. Zapata

Frecuencia de la capitalización

Los intereses de una inversión de pueden capitalizar a lo largo de un determinado período de tiempo.

La frecuencia de capitalización se define como el número de veces que se capitalizan los intereses al cabo de un año. Por ejemplo, los intereses pueden capitalizarse cada 2, 3, 4, 6 o 12 meses. 

Si se capitalizan trimestralmente, su frecuencia es 4, ya que hay cuatro trimestres al año, si se capitalizan semestralmente, la frecuencia es 2, puesto que un año tiene dos semestres, y así sucesivamente.

Llamando k a dicha frecuencia, se tiene:

• Interés capitalizado mensualmente: k = 12
• Interés capitalizado trimestralmente: k = 12/3 = 4
• Interés capitalizado cuatrimestralmente: k = 12/4 = 3
• Interés capitalizado semestralmente: k = 12/6 = 2
• Interés capitalizado anualmente: k = 12/12 = 1

Tasa nominal y tasa del período

La tasa nominal es la tasa que ofrecen los bancos como referencia, y suele ser anual, sin embargo, la capitalización puede darse en otros períodos de tiempo. Para diferenciarlas, se empleará la siguiente notación:

_·          Tasa nominal: i_n

·         Tasa del período: i_p

Ambas están relacionadas a través de la siguiente fórmula:

V_F en función de la tasa del período y la frecuencia de capitalización

El valor a futuro V_F se calcula mediante la tasa del período, por ello, la fórmula para el valor a futuro se puede expresar en términos de i_p y k como sigue:

V_F = V_P (1 + i_P)^k∙n

O bien:

Tasa efectiva anual

Asimismo, se tiene la tasa efectiva anual, una cantidad adimensional que se calcula mediante:

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcular la frecuencia de capitalización al realizar un depósito en un banco que paga un interés anual que se convierte cuatrimestralmente.

Solución

Un año tiene 3 cuatrimestres (3 × 4 = 12 meses), por lo tanto:

Ejemplo 2

El banco del ejemplo 1 paga un interés de 25 % anual convertido cuatrimestralmente. ¿Cuánto dinero se obtiene al cabo de 2 años, colocando un capital de 5000 $?

Solución

Según la fórmula:

V_F = V_P (1 + i)ⁿ

Como se indicó anteriormente, es necesario que i y n se encuentren en las mismas unidades de tiempo. Dado que el interés es convertido cuatrimestralmente, lo mejor es expresar el tiempo en años, sabiendo que 1 año = 3 cuatrimestres.

Y como tasa de capitalización se coloca la tasa del período i_p.

Los datos que se tienen son los siguientes:

·     V_P = 1000 $
·         i_n = 25 % anual =0.25
·         t = 2 años = 6 cuatrimestres
·         k= 3 (calculada en el ejemplo anterior)

Cálculo de la tasa del período i_p:

Cálculo del valor a futuro V_F:

V_F = V_P (1 + i)ⁿ = 5000 (1 + 0.0833)⁶ = 8081 $

Ejemplo 3

Se realiza una inversión de 100000 $ colocados durante un año a tasa nominal del 36%, capitalizable mensualmente. Calcular:

a)     El valor a futuro V_F

b)    Los intereses

c) La tasa real de ganancia

Solución a                      

V_F = V_P(1+i_P)^k∙n

Los datos del enunciado son los siguientes:

·         V_F = 100000 $

·         k = 12 (ver la tabla de frecuencias al comienzo)

·         i_n = 0.36

n = 1 mes

Cálculo de i_p

Cálculo de V_F

V_F = V_P(1+i_P)^k∙n = 100000 (1 + 0.03)¹² = 142576 $

Solución b                      

I = V_F − V_P = 142576 – 100000 = 42576 $

Solución c 

Interés compuesto (I parte)

 Por F. Zapata

En interés compuesto, tanto el capital y como los intereses devengan intereses a su vez, lo cual significa que los intereses también se capitalizan.

Por ello, cada vez que finaliza un período de tiempo determinado, los intereses devengados se van añadiendo al capital y es sobre esta suma que se calcula la nueva cantidad de dinero.

Supóngase que se tiene una cierta cantidad de dinero V_P, para invertirlo a una tasa de interés del i % anual.

Al cabo de 1 año, se tendrá el monto futuro, cantidad a la que se llamará V_F:

V_F (1 año) = V_P + V_P∙i = V_P (1+ i)

Donde la cantidad V_P∙i equivale a los intereses devengados al cabo de ese año. 

Dejando pasar otro año, se acumula la siguiente cantidad al cabo de 2 años:

V_F (2 años) = V_P + V_P∙i + (V_P + V_P∙i)∙i = V_P +2∙V_P∙i + V_P∙i²  

Este resultado es un trinomio cuadrado perfecto, que se puede factorizar para presentarlo de una forma más compacta:

V_F (2 años) = V_P (1+i)²

Si este procedimiento se repite para 3 años, 4 años … n años, se obtiene la siguiente fórmula general, que sirve para calcular el monto futuro o valor futuro V_F al cabo de cierta cantidad de años:

V_F = V_P (1 + i)ⁿ

El significado de cada símbolo en esta fórmula, que es una exponencial, es el siguiente:

• VP: capital, cantidad de dinero invertida o valor presente.
• V_F: monto futuro o valor futuro.
• i: tasa de interés anual
• n: número de años

Importante: Nótese que, en este caso, el período de tiempo está en años, y la tasa de interés es anual. Se puede calcular el valor futuro al cabo de otros lapsos de tiempo, sin embargo, para aplicar correctamente la fórmula dada, la tasa de interés y el periodo de tiempo deben venir siempre en las mismas unidades.

Intereses devengados al cabo de n años

Los intereses devengados al cabo de n años se denotan mediante la letra I, y equivalen a la diferencia entre el valor futuro y el valor presente:

I = V_F − VP

Los siguientes ejemplos resueltos aclaran el uso de estas fórmulas.

Ejemplo 1

Se invierten 1000 $ a una tasa de interés del 5 % anual. Calcular:

a) ¿Cuánto dinero se obtiene al cabo de 2 años? 

b) ¿Y cuántose tiene si se dejan transcurrir 3 años?

Solución a

Se usa la fórmula:

V_F = V_P (1 + i)ⁿ

Con los siguientes datos proporcionados por el enunciado:

·         V_P = 1000 $

·         i = 5 % anual = 5/100 = 0.05

·         t = 2 años

Al sustituir en la fórmula se obtiene:

V_F = V_P (1 + i)ⁿ = 1000 (1+ 0.05)² = 1102.5 $

Solución b

Para saber la cantidad al cabo de 3 años, se sustituye t = 3 en la fórmula y se resuelve la operación:

V_F = V_P (1 + i)ⁿ = 1000 (1+ 0.05)³ = 1157.6 $

Ejemplo 2

 Hallar el interés que devenga un capital de 1000 $, colocado al 5% anual en un plazo de 5 años.

Solución

Los intereses devengados I, equivalen a:

I = V_F − V_P

El valor de V_F al cabo de n = 5 años es:

V_F = V_P (1 + i)ⁿ = 1000 (1+ 0.05)⁵ = 1276.3 $

Entonces:

I = V_F − V_P = 1276.3 – 1000 $ = 276.3 $

Ejemplo 3

¿Cuánto tiempo debe permanecer un capital de 1000 $ a una tasa de interés del 5 % anual para obtener un valor futuro de 1500 $?

Solución

A partir de la fórmula:

V_F = V_P (1 + i)ⁿ

Se conocen los valores de:

·         V_P = 1000 $

·         V_F = 1500 $

·         i = 5% anual = 0.05

Sustituyendo en la fórmula:

1500 = 1000 (1 + 0.05)ⁿ

Puesto que la incógnita está en el exponente, hay que aplicar logaritmos a ambos lados, para despejarla. Pueden aplicarse logaritmos decimales o neperianos, en este caso se aplican logaritmos decimales:

log 1500 = log [1000 ∙ (1 + 0.05)ⁿ]

Las propiedades de los logaritmos que se van a aplicar para despejar la incógnita son las siguientes:

• Logaritmo de un producto: log (a∙b) = log a + log b
• Logaritmo de una potencia: log (aⁿ) = n∙log a

Con esto en mente:

log 1500 = log [1000 ∙ (1 + 0.05)ⁿ] = log 1000 + log (1 + 0.05)ⁿ = log 1000 + n∙log (1 + 0.05)

Se despeja el valor de n, de esta manera:

 

 Por lo tanto, el tiempo que hay que dejar el capital inicial para obtener 1500 $ es de 8.31 años, que equivale aproximadamente a 8 años y 4 meses.

¿Cómo resolver un límite de la forma 0/0 paso a paso?

 Por F. Zapata

El límite cuando x → h de una función racional, tal que resulta 0/0, es una indeterminación. 

En Cálculo, una indeterminación significa que nada puede afirmarse o predecirse respecto a la función, cuando se pretende evaluarla en x = h.

Los límites de la forma 0/0 son muy comunes en Cálculo y muchos se resuelven con procedimientos algebraicos sencillos. Fuente: Vecteezy.

Esto es lo que sucede, por ejemplo, con el siguiente límite:

Al evaluar numerador y denominado en x = 3, se obtiene:

3²− 5×3 + 6 =9 – 15 + 6 = 0

x – 3 = 0

Lo cual conduce irremediablemente a una indeterminación 0/0.

A pesar de esto, el límite podría existir, es decir, se podría acercar por la izquierda y la derecha a x = h, y la función podría tomar un valor único, que sería el límite buscado.

La forma de encontrarlo analíticamente, es aplicando algún procedimiento algebraico para modificar la expresión, con el objetivo de eliminar la indeterminación. Si esto es posible, el límite se puede evaluar sin problemas.

En una expresión racional, la indeterminación se elimina cancelando el factor que anula el denominador, aunque otra opción es, por supuesto, que el límite simplemente no exista.

Entre los procedimientos algebraicos más utilizados para eliminar la indeterminación están:

• Factorizar numerador y denominador
• Hacer un cambio de variable, si la función es trascendente o irracional
• Aplicar la regla de L´Hopital.

Desde luego, la aplicación del método más conveniente depende de la forma de la expresión cuyo límite se quiere encontrar. 

Pasos para resolver el límite de la forma 0/0

1. El primer paso es, obviamente, cerciorarse de que el límite solicitado efectivamente corresponde a una indeterminación 0/0. Hay varias clases de límites, y no todos responden a procedimientos de factorización para ser resueltos.
2. Una vez seguros de que el límite es de la forma 0/0, se aplica el procedimiento seleccionado para eliminar la indeterminación.
3. Se evalúa la expresión resultante en x = h y el resultado es el límite solicitado.

Ejemplo 1

Calcular el siguiente límite, mediante factorización:

Solución

Previamente, se constató que este límite es de la forma 0/0. Ahora se factoriza el numerador, el cual es un trinomio cuadrado:

x²− 5x + 6 = (x−3)(x+2)

El denominador es un único factor igual a x−3, por lo que se le deja tal cual. Si no fuera así, habría que factorizarlo también. Este es justamente el factor que se debe cancelar para eliminar la indeterminación.

El límite queda así ahora:

Y afortunadamente, el factor x−3 se cancela, por encontrarse tanto en el numerador como en el denominador:

El límite pedido existe y vale 1.

Si el lector ya conoce el tema de las derivadas, puede calcular este mismo límite a través de la regla de L´Hopital.

Ejemplo 2

Calcular el siguiente límite mediante la regla de L´Hopital:

Solución

La regla de L´Hopital aplica a formas indeterminadas como 0/0, y requiere derivar por separado el numerador y el denominador, hasta que la indeterminación desaparezca.

Y se obtuvo el mismo resultado que en el ejemplo anterior, como era de esperar.

Ejercicios resueltos

Calcular los siguientes límites:

a) 

b) 

Respuesta a

La función es racional, de la forma P(x)/Q(x), con P(x) y Q(x) polinomios de grado 3. El método a utilizar en primera instancia es el de la factorización del numerador y el denominador, a fin de cancelar el factor que anula este último.

Pero antes se evalúan numerador y denominador en x = −2, a fin de corroborar que el límite solicitado es de la forma 0/0:

• (−2)³ + 3∙ (−2)² – 4 = −8 +12 – 4 = 0
• (−2)³ – (−2)² – 4 = −8 – 4 – 6∙(–2) = –8 – 4 + 12 = 0

En efecto, se trata de una indeterminación de la forma 0/0. 

Factorización del numerador

Comenzando con el numerador, se utiliza la regla de Ruffini para hallar la primera raíz del polinomio.

Para usar la regla de Ruffini, se trabaja únicamente con los coeficientes del polinomio ordenado y completo, poniendo 0 cuando hay un término faltante:

x³ + 3x² – 4 = x³ + 3x² + 0x – 4

Y entonces se tantea la primera raíz, usando alguno de los divisores del término independiente, que es −4. Estos divisores son ±1, ±2, ±4, y al elegir +1, queda:

 

        1      3        0       – 4

 

1              1        4          4

______________________

       1        4       4         0

 

La factorización del numerador ya está lista para escribirse como:

x³ + 3x² – 4 = (x – 1)(x² + 4x + 4)

El segundo factor es un trinomio cuadrado perfecto, de manera que:

 x³ + 3x² – 4 = (x – 1)(x² + 4x + 4)=(x – 1)(x+2)²

El lector puede corroborar que, al desarrollar el lado derecho de la igualdad, obtiene el lado izquierdo.

Factorización del denominador

Ahora se procede de la misma forma con el denominador, aunque en este caso no es necesario aplicar Ruffini:

x³ + x² + 6x = x(x² – x + 6) = x(x–3)(x+2)

Cálculo del límite

El límite se reescribe así:

 

El límite sí existe y vale 0.

Alternativamente, por la regla de L’Hopital, el límite resulta:

 

Respuesta b

Esta es una función racional que contiene un término irracional en el numerador. El límite es de la forma 0/0, ya que:

•  4 +2√4 – 8 = 8 – 8 = 0
• 4 – 4 = 0

Entonces, como hay un término con raíz cuadrada en el numerador, se hace el cambio:

 u = √x

Por el cual:

u² = x.

Cuando x = 4, significa que u = 2.

Con lo anterior, el límite dado se transforma en:

 Factorizando numerador y denominador:

El factor (u – 2) se cancela y queda:

Alternativamente, mediante la regla de L’Hopital: