Ejercicio 1
Representar gráficamente el conjunto solución de las siguientes ecuaciones/inecuaciones en el plano:
a) x > -3
b) y > 1
c) -4 ≤ y
d) y = 5
e) x = -1
f) x < y-3
g) -3y ≥ 6x + 9
f) x < y-3
g) -3y ≥ 6x + 9
Solución a
La región coloreada corresponde a la solución de la respectiva inecuación. La línea vertical de la izquierda es punteada para indicar valores de x estrictamente mnayores que -3.
Solución b
Obsérvese nuevamente que el borde punteado indica que y es estrictamente mayor que 1.
Solución c
La expresión:
-4 ≤ y
Es equivalente a:
y ≥ - 4
El bortde inferior correspondiente a y = -4 se representa con trazo continuo para indicar que forma parte de la solución.
Solución d
Solución e
Solución f
La inecuación x < y-3 se reescribe así:-y < -3 - x
Equivalente a:
y > x+3
Ya que para cambiar los signos, se multiplica toda la línea por -1 y el sentido de la desigualdad se invierte.
La región está limitada por la recta de ecuación y = x+3, pero al ser estrictamente mayor, los puntos de esta recta no están incluidos, por lo que se representan mediante trazo punteado.
Solución g
-3y ≥ 6x + 9
Se divide todo entre 3 para simplificar:
-y ≥ 2x + 3
Se multiplica todo por -1 y se invierte el sentido de la desigualdad:
y ≤ -2x - 3
La gráfica que corresponde a esta región está limitada por la recta y = -2x -3 y al ser menor o igual, los puntos de la recta se incluyen en la región solución, lo que se indica mediante trazo continuo.
Ejercicio 2
Solución a
La región coloreada está por debajo de la recta de color rojo. Vamos a encontrar la ecuación de esta recta, para lo cual necesitamos dos puntos que pasen por ella. Estos puntos se eligen a gusto, por ejemplo el (3,0) que es la intersección con el eje x, y (0,-1) que es el corte con el eje vertical.
La pendiente es:
Por su parte el corte con el vertical está en b = -1.
La ecuación de la recta es y =mx +b, en este caso, la recta es:
y = (1/3) x - 1
Por lo tanto la región coloreada corresponde a todos los puntos que están por debajo de dicha recta, incluyendo a los de la recta, ya que el trazo de la misma es continuo:
y ≤ (1/3) x - 1
Solución b
La región coloreada se encuentra por encima de la recta dibujada con trazo discontinuo. Sobre la recta ya hay dos puntos que se pueden aprovechar para encontrar la ecuación de la recta, tal como se hizo en el ejercicio anterior.
Los puntos son: (-2,0) y (1,-2).
Con estos valores la pendiente es:
Los puntos son: (-2,0) y (1,-2).
Con estos valores la pendiente es:
Hasta ahora, la ecuación de la recta es:
y = (-2/3)x + b
Para encontrar b se sustituye uno de los puntos en esta ecuación, por ejemplo el (-2,0):
0 = (-2/3)(-2) + b
b = -4/3
Ahora está completa la ecuación de la recta:
y = (-2/3)x - 4/3
La región buscada está por encima de esa recta, pero sin incluirla:
y > (-2/3)x - 4/3
Multiplicando todo por 3 queda:
3y > -2x - 4
Ejercicio 3
Representar gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas de inecuaciones:
Solución a
Solución b
El sistema no tiene solución, ya que no hay intersección entre la región delimitada por x > 4 y y > 3, que es el rectángulo arriba a la derecha, y la región por debajo de la recta 2x+y = 5, que está a la izquierda.
Ejercicio 4
Indicar el sistema de inecuaciones que corresponde a la región coloreada de azul en la siguiente figura:
Solución
La región mostrada está delimitada por la recta vertical x = 2, la recta horizontal y = 3 y las dos rectas inclinadas, cuyas respectivas ecuaciones debemos hallar.
Nuevamente partimos de la ecuación de la recta de la forma:
y = mx + b
Donde m es la pendiente y b es el corte con el eje vertical.
Comenzaremos con la recta de pendiente positiva. Dos puntos de esta recta son: (2,1) y (7,4), por lo tanto su pendiente es:
y = (3/5) x + b
El corte con el eje vertical se encuentra sustituyendo uno de los puntos en la versión anterior, por ejemplo el (2,1):
1 = (3/5).2 + b
1 = (6/5) + b
Por lo tanto b = -1/5
Ahora completamos la ecuación de esta recta:
y = (3/5)x - (1/5)
Que también equivale a:
5y = 3x- 1
La región de color azul está por encima de esta recta.
Ahora repetimos el procedimiento para encontrar la ecuación de la reta de pendiente negativa. Los puntos a utilizar son: (2,6) y (7,4). Por lo tanto la pendiente es:
Con esto la ecuación de la recta es:
y = - (2/5) x + b
Se sustituye un punto que le pertenezca, por ejemplo el (2,6):
6 = -2. (2/5) + b
b= 34/5
La recta buscada es:
y = -(2/5)x + 34/5
Equivalente a:
5y = -2x + 34
Ahora que tenemos todos los límites establecidos, la región corresponde a la solución del sistema:
Los puntos de las rectas se incluyen en la región, puesto que los bordes de la misma están dibujados con trazo continuo.
Ejercicio 5
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones indicando el método:
Solución a
Este sistema se presta para el método de sustitución, porque la primera ecuación ya tiene despejada a la incógnita "y". Así que simplemente se sustituye en la segunda:
2x + (-5x + 3) = 3
Se retiran los paréntesis y queda:
2x - 5x + 3 = 3
Como +3 se encuentra a ambos lados de la igualdad se cancela:
-3x = 0
Por lo tanto:
x=0
Sustituyendo este resultado en la primera ecuación, se tiene que:
y = 3
Solución b
En este sistema conviene multiplicar ambas ecuaciones por 2, para eliminar así las fracciones. Queda:
x + 2y = 2
6x + 2y = 7
Si se resta una de las ecuaciones de la otra, el sistema se resuelve rápidamente, porque de esta manera se elimina la incógnita "y". Por ejemplo a la segunda, restemos la primera de las ecuaciones miembro a miembro:
(6x + 2y) - ( x + 2y) = 7 - 2
6x + 2y - x - 2y = 5
5x = 5
x = 1
Este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones, ya sea en las originales o en las que fueron multiplicadas por 2. Por ejemplo en x + 2y = 2 resulta:
1 + 2y = 2
2y = 1
y = 1/2
Solución c
Este sistema también se presta para el método de sustitución porque la incógnita "y" está despejada de la segunda ecuación. Bueno, "casi" despejada, por está precedida por un signo negativo, así que hay que comenzar por multiplicar toda la línea por (-1):
3x - 1 = - y
-3x + 1 = y
Es lo mismo decir:
y = -3x + 1
Ahora sí puede sustituirse esta expresión en la primera ecuación:
y - 5 = 3x
-3x + 1 - 5 = 3x
Agrupamos los términos con "x" a la izquierda y los términos independientes a la derecha:
-3x - 3x = 5 - 1
-6x = 4
x = 4 / -6
x = - 2/3
Sustituimos este resultado en la ecuación y - 5 = 3x:
y - 5 = 3 (-2/3)
y - 5 = -2
y = -2 + 5
y = 3
Solución d
Vamos a ordenar las incógnitas del lado izquierdo y a dejar los términos independientes del lado derecho en ambas ecuaciones:
y + 1 = 2x
3y - 6x = -3
-2x + y = -1
-6x +3y = -3
Ahora multiplicamos por 3 la primera ecuación y notamos algo peculiar en el resultado:
-6x +3y = - 3
-6x +3y = -3
Cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, lo que hacemos es encontrar las coordenadas de la intersección entre ambas rectas (cada ecuación representa una recta).
En el plano, las rectas que no tienen intersección son rectas paralelas, y en este caso, el sistema no tiene solución.
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