Ejercicios resueltos de funciones

Por Fanny Zapata.

Ejercicio 1

Establecer el conjunto dominio y el conjunto imagen de las siguientes funciones:

Solución a

Dominio de f(x)

Puesto que se trata de una raíz cuadrada, la cantidad subradical no puede ser negativa, aunque puede ser 0, en consecuencia se plantea la siguiente inecuación:

x+2 ≥ 0

x ≥ -2

El dominio de f(x) es la solución de la inecuación, que es el intervalo numérico [-2, ∞+). Nótese que para indicar que x= -2 pertenece al dominio de la función se ha usado un corchete. En cambio para infinito siempre se usa paréntesis.

Rango, recorrido o imagen de f(x)

Es el conjunto de valores que puede tomar f(x) cuando x toma los valores del dominio. En este caso, una raíz cuadrada siempre es mayor o igual que 0, por lo tanto el rango es el intervalo:

[0, ∞+)

Las conclusiones acerca del dominio y del rango se comprueban rápidamente a partir de la gráfica de la función, que se puede construir a través de un software online como Geogebra.

Gráfica de la función f(x) = (x-2)^1/2, donde se aprecia claramente que el dominio comienza en x = 2, mientras que el rango o recorrido arranca en 0. Ambos conjuntos se extienden hasta ∞. Gráfico realizado por F. Zapata con Geogebra.

Primero analizamos la extensión de la curva a lo largo del eje x, y vemos que efectivamente comienza en x = 2 y se extiende hacia la derecha hasta infinito. Ese el dominio.

Ahora estudiemos el rango viendo el eje vertical, en efecto la gráfica se extiende desde y = 0 y va creciendo, aunque lentamente, para tender a infinito cuando x se hace muy grande.

Solución b

Dominio de f(x)

Esta vez la raíz cuadrada se encuentra como denominador, por lo tanto la cantidad subradical tiene que ser positiva, pero no puede ser 0. La inecuación a resolver es:

x - 1 > 0
x  > 1

El dominio de f(x) es el intervalo numérico (1, ∞+). Se ha usado un paréntesis para indicar que x = 1 no pertenece al dominio de la función, ya que precisamente este valor haría 0 el denominador y eso no queremos que suceda.

Rango, recorrido o imagen de f(x)

y = f(x) toma valores positivos excepto el 0, esto lo sabemos porque el numerador vale 4, por lo tanto nunca se anula, siendo un valor fijo y positivo. Por otro lado sabemos que el denominador siempre es positivo.

Una cantidad positiva dividida entre otra positiva resulta ser positiva también.

Ahora bien, si x es una cantidad cercana a 1 (pero no igual a 1), la cantidad subradical es pequeña y la fracción resultante es grande. El lector puede comprobar con su calculadora lo que se sucede con la función si elige valores arbitrariamente cercanos a 1, tales como:

1.1

1.01

1.001

1.0001

Y así sucesivamente. No es necesario probarlos todos, unos pocos serán suficientes para que se convenza de que los valores de y crecen conforme el valor de x se acerca más a 1, sin que sea 1 exactamente.

De esta manera, cuando x tiende a -1 (pero no igual a -1), f(x) tiende a infinito.

Por otro lado, al probar con valores de x pertenecientes al dominio, pero grandes, también es fácil darse cuenta de que los valores de la función se hacen  cada vez más pequeños. El lector puede probar con su calculadora los siguientes valores de x:

100

1000

10.000

Por más pequeño que sea el valor de y = f(x) nunca es 0, aunque se acerca mucho a medida que x aumenta.

Del análisis anterior se concluye que el conjunto imagen es: (0, ∞+).

Ejercicio 2

Dadas las gráficas de las siguientes funciones, decidir si son biyectivas o no y justificar la respuesta.

Solución

Lo primero que hay que hacer es tener a la mano la definición de función biyectiva:

Una función f(x) es biyectiva cuando es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Lo que nos lleva a la definición de función inyectiva y sobreyectiva:

Función inyectiva: cada elemento del dominio (conjunto de partida) tiene una imagen distinta en su conjunto de llegada o conjunto imagen.

Función sobreyectiva: todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del conjunto de partida o dominio.

Acá en la siguiente imagen hay un ejemplo sencillo:

Ejemplo de función biyectiva. Fuente: Wikimedia Commons.

Ahora analicemos cada gráfico, comenzando por la gráfica a) de la función h(x), definida de R →R, lo que significa que el dominio de la misma está en el conjunto de los números reales. Se trata de una función por partes, con dos partes. 

A la izquierda la función viene desde -∞ y se dirige hacia x = 0 pèro nunca es igual a x=0 por la izquierda. 

La siguiente sección de la función comnienza en x = 0, lo sabemos por el punto negro que indica que efectivamente la función está definida para este valor y vale 1. Toda esa información nos la brinda el gráfico. Luego vemos que la función se aleja en forma de una recta con pendiente positiva.

Ahora nos preguntamos si esta función cumple con las definiciones establecidas al comienzo. ¿Habrá algun valor de y que es imagen de más de un  valor de x? No, cada valor de x tiene su imagen, y esta imagen no lo es de ningún otro valor, es una imagen única.

Seguidamente veamos el conjunto imagen, que es el de los números reales también, esto nos lo informa el enunciado. ¿Hay algunos valores de y que no son imagen de algún valor de x? 

La respuesta es sí. Los valores entre 0 y 1, incluyendo al 0, pero sin incluir al 1, no son imagen de ningún valor de x. Lo vemos claramente porque hay una pequeña brecha a lo largo del eje y que está comprendida entre estos valores. 

Por lo tanto concluimos que la función a) no es sobreyectiva.

Ahora vamos con la función b) y de inmediato advertimos que y = 1 es imagen de 3 valores de x, a saber x = -0.5, x= 0 y x= 2. Por lo tanto al no ser inyectiva, tampoco es sobreyectiva.