Introducción a los vectores

Por F. Zapata

Los vectores son entidades matemáticas y abstractas, con un carácter geométrico, que se utilizan para representar algunas magnitudes en física, como la velocidad, el desplazamiento, la aceleración y la fuerza. Otras magnitudes, como el tiempo, la temperatura y el área, no necesitan del auxilio de los vectores para representarlas, porque son escalares.

Esta es la razón de que los vectores sean tan importantes en física y de la necesidad de aprender a trabajar y operar con ellos, ya que tantas magnitudes físicas importantes tienen carácter vectorial. Solamente así se puede lograr una cabal comprensión del por qué algunas magnitudes físicas se comportan como lo hacen.

Dicho esto, hay que que destacar los tres aspectos fundamentales de un vector: magnitud o módulo, dirección y sentido. La representación gráfica de los vectores en el plano se hace mediante flechas:

Figura 1. Vectores en el plano. Fuente: F. Zapata.

La magnitud o módulo es proporcional a la longitud de la flecha, la dirección se mide a través del ángulo, en sentido antihorario, que el vector forma con un eje referencia, que usualmente es la horizontal, y, por último, la punta de la flecha indica el sentido.

Figura 2.- Módulo, dirección y sentido de un vector. Fuente: College Physics, Open Stax.

Lo anterior se muestra en la figura 2, donde hay un vector, cuya magnitud es igual a 10.3 unidades y que forma un ángulo de 29.1º con el eje horizontal o eje x. Este ángulo es la dirección del vector, mientras que la flecha señala su sentido.

En el texto impreso, los vectores suelen representarse con letra negrita, mayúscula o minúscula. Así, el vector fuerza será F, mientras que su magnitud se distingue en cursiva: F. Asimismo, se pueden representar con una flecha encima: 

Vectores en el plano

El plano cartesiano es muy útil para representar vectores. Si se tienen dos puntos P₁ y P₂, y se indica cuál de ellos es la cola del vector y cuál la punta, es muy fácil dibujar el segmento que los une y representar así el vector.

Por ejemplo, sea el vector u, que va desde P₁ = (1,2) hasta P₂ = (4,6), que se muestra en la siguiente figura:

Figura 3.- Un vector u en el plano, dirigido desde el punto P₁ hasta el punto P₂. Fuente: F. Zapata.

Componentes de un vector

Si los puntos P₁ y P₂, de coordenadas (x₁,y₁) y (x₂,y₂) representan, respectivamente, la cola y el extremo del vector, las componentes de este se calculan de este modo:

·         Componente horizontal: (x₂ − x₁)

·         Componente vertical: (y₂ − y₁)

Para el vector del ejemplo mostrado, sus componentes son:

·         (4 − 1) = 3

·         (6 − 2) = 4

Nótese que los vectores en el plano tienen dos componentes, mientras que en el espacio tienen tres.

Y ahora, esto es lo que sucede al graficar el punto (3,4), que coincide con las componentes del vector u en cuestión:

Figura 4.- Los vectores u y v son equipolentes, puesto que tienen igual magnitud, dirección y sentido. Fuente: F. Zapata.

Resulta que se obtiene un vector v con la misma magnitud, dirección y sentido del vector u, pero con el origen coincidiendo con el punto (0,0).

Algunos tipos de vectores importantes

Vectores equipolentes

Son vectores con igual magnitud, dirección y sentido, si bien pueden estar localizados en diferentes sitios del plano o el espacio. No obstante, sus características son las mismas.

Los vectores u y v mostrados son vectores equipolentes.

Vectores ligados y vectores libres

En el dibujo anterior, la ventaja del vector v es que su origen coincide con el origen del sistema de coordenadas, que es el punto (0,0). Cualquier vector cuyo origen coincide con un punto fijo es un vector ligado, de lo contrario, es un vector libre. Los vectores de la figura 1 son vectores libres en el plano, mientras que el vector de la figura 2 es un vector ligado.

Vectores opuestos

Un vector opuesto a otro tiene su misma magnitud e igual dirección, pero sentido contrario.

Los vectores B y −B mostrados en la figura 5 son vectores opuestos.

Figura 5.- Los vectores opuestos tienen igual magnitud y dirección, pero sentidos opuestos. Fuente: College Physics. Open Stax.

Vectores unitarios

Los vectores unitarios tienen magnitud igual a 1, de allí su nombre. Del resto, pueden tener cualquier dirección y sentido.

Hay tres vectores unitarios muy interesantes, y muy importantes. Son los vectores unitarios i, j y k en las tres direcciones perpendiculares del espacio. Ellos definen la dirección a lo largo, a lo alto y la dirección que es saliente o entrante al plano del papel o la pantalla.

Son importantes porque conforman una base, lo cual significa que otros vectores se pueden escribir en términos de estos tres, y de esta forma, operar con ellos analíticamente. También son útiles para indicar determinadas direcciones, como, por ejemplo, la normal o perpendicular a una superficie dada.

En ocasiones, los vectores unitarios se denotan con un acento circunflejo o sombrero, para distinguirlos de los vectores no unitarios, como se muestra en la siguiente figura, en la que aparecen los vectores i, j y k:

Figura 6.- Los vectores unitarios en el espacio. Fuente: F. Zapata.

Vectores nulos

Tienen magnitud igual a 0. En principio podría pensarse que no tiene mucho sentido un vector nulo, sin embargo, en un cuerpo en equilibrio estático, la fuerza resultante es nula, y como la fuerza es un vector, pues entonces la resultante equivale al vector nulo.