Asíntotas oblicuas de una función

Por F. Zapata

Las asíntotas oblicuas son rectas de la forma y = mx + b, las cuales limitan a una función, de tal manera que la curva de esta no puede intersectarlas, como se muestra en la imagen:

En las funciones racionales, de la forma:

Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, por ejemplo, P(x) puede ser un polinomio de grado 2 y Q(x) de grado 1, y así.

Para encontrar la ecuación de la recta y = mx + b que es asíntota oblicua de la función f(x), es preciso determinar la pendiente m de la misma y el corte con el eje vertical b, a través de los siguiente límites. 

La primera pareja de límites se calcula haciendo x→ +∞:

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Y haciendo x→ −∞:

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Ejemplo resuelto

a) Hallar, si existen, las asíntotas oblicuas de:

b) Hallar las demás asíntotas de la función, si las tiene, y comprobar mediante su gráfica.

Solución a

La función f (x) tiene asíntotas oblicuas, ya que es una función racional y el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador. Por lo tanto se calculan los límites:

La ecuación de la asíntota oblícua es y = 2x−2.

Solución b

La función f(x) tiene una asíntota vertical, que se determina encontrando los valores de x que anulan el denominador:

x + 1 = 0

x = −1

No hay asíntota horizontal, ya que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. La gráfica hecha con el software online gratuito Geogebra permite apreciar la asíntota oblicua y =2x-2. También se ve que la función tiende a menos infinito por la izquierda de -1 y a infinito positivo a la derecha de -1.

Fuente: F. Zapata a través de Geogebra.