En el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), el móvil se desplaza a lo largo de una línea recta con una velocidad que cambia de manera uniforme a lo largo del tiempo. Dicho en otras palabras, la tasa de cambio de la velocidad, que no es otra sino la aceleración, es constante.
La velocidad puede aumentar (movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado) o disminuir (movimiento rectilíneo
uniformemente retardado), pero siempre en una cantidad constante, de allí que
la gráfica de la aceleración en función del tiempo sea una línea horizontal,
como se aprecia en la figura c) de abajo.
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| De izquierda a derecha, la gráfica de la posición en función del tiempo, x vs t, velocidad en función del tiempo v vs t y aceleración en función del tiempo, a vs t, para el movimiento rectilíneo uniformemente variado MRUV. Fuente: F. Zapata. |
Por su parte, la gráfica de
la velocidad en función del tiempo es una línea recta, tal como se tiene en la
figura b), cuya pendiente es positiva si la velocidad va en aumento, o negativa
si la velocidad decrece con el tiempo.
Por último, la posición en
función del tiempo es una parábola, ver la figura a), la cual abre hacia arriba
cuando la velocidad va en aumento, o hacia abajo si decrece.
Como se recordará, las respectivas
ecuaciones para cada magnitud son:
Posición
Donde x representa la posición, t es el
tiempo, x0 la posición inicial, v0
la velocidad inicial y a la aceleración.
Velocidad
Donde t es el tiempo, v0 la
velocidad inicial y a la aceleración.
Nótese que la pendiente de esta recta corresponde a la
aceleración, mientras que el área bajo la recta equivale a la distancia
recorrida por el móvil.
Lo cual significa que la aceleración es siempre la misma (puede ser positiva si el móvil está acelerado, o negativa si frena).
Se puede extraer muchísima información acerca del movimiento cuando se
estudia su gráfica. A continuación tenemos un ejemplo que muestra lo que se
puede saber de un móvil cuando se estudia su gráfica velocidad vs tiempo.
Ejemplo
Se tiene el gráfico de la velocidad en función del tiempo
para un móvil, que se muestra en la siguiente figura:
Partiendo del gráfico, responder las siguientes preguntas:
Solución a
La velocidad inicial del móvil es −20 m/s, que se lee fácilmente del gráfico, pues es la velocidad que corresponde a t = 0 s.
Solución b
La velocidad máxima es de +20 m/s y se alcanza en t = 20
segundos.
Solución c
Solución d
En la gráfica se describe el movimiento durante un lapso de
tiempo de 30 segundos, durante los cuales el móvil se mueve sobre una línea
recta, de la siguiente manera:
I) Entre t = 0 y t = 10 s, el movimiento es rectilíneo uniforme MRU. Lo sabemos porque la velocidad es constante en este
intervalo de tiempo e igual a −20 m/s.
II) Desde t = 10 s hasta t = 20 s, el
movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado MRUA, es decir, la aceleración
es constante y positiva. Esto se conoce porque la gráfica es una recta de
pendiente positiva.
III) Desde t = 20 s hasta t = 30 s, el
movimiento es rectilíneo uniformemente retardado MRUR, dado que la gráfica en
este intervalo de tiempo es una recta de pendiente negativa.
Solución e
El movimiento consta de tres tramos:
I) La aceleración en el primer tramo, entre t = 0 s
y t = 10 s es nula, ya que allí la velocidad es constante, como se dijo
anteriormente. Por lo tanto:
a1 = 0 m/s2
II) El segundo tramo va desde t = 10 s hasta t = 20
s y la aceleración es la pendiente del segmento de recta. Para calcularla se
necesitan dos puntos cualesquiera que pertenezcan a este segmento, por ejemplo
(10 s, -20 m/s) y (15 s, 0 m/s), pero se puede tomar cualquier otra pareja de
puntos, siempre y cuando pertenezcan al segmento. Entonces se calcula la
pendiente de la recta como:
III) En el tercer segmento se espera una aceleración negativa, para calcularla se toman los puntos (25 s, 0 m/s) y (30 s, −20 m/s), o cualquier otro par que pertenezca al segmento en cuestión:
Solución f
La gráfica de la aceleración en función del tiempo se
construye con los tres valores obtenidos anteriormente. Se puede hacer a mano,
en papel milimetrado, o con un software online, como Desmos o Geogebra. En
cualquier caso, se trata de una función por partes, que consta de tres
segmentos, como se puede apreciar en la figura:
Solución g
La distancia recorrida por el móvil equivale numéricamente
al área comprendida entre la gráfica y el eje horizontal, por ejemplo, para el
intervalo de tiempo entre t = 0 s y t = 15 s, es el área del trapecio sombreado
en azul:
El área del trapecio viene dada por la fórmula:
Donde B es la longitud de la base mayor,
b es la longitud de la base menor y h es la altura. Hay que precisar que estos
valores son positivos siempre, puesto que se trata de las longitudes de los
lados de la figura. En otras palabras, la equivalencia entre distancia y área
del trapecio es solamente numérica.
Así, en el ejemplo mostrado:
B = 15 s; b = 10 s; h = 20 m/s
Con estos valores, la distancia recorrida
por el móvil en el intervalo propuesto es:
También se hubiera podido dividir el trapecio en dos figuras, un rectángulo y un triángulo, calculando el área de cada uno por separado y luego sumando los resultados.
Solución h
La distancia total recorrida por el móvil se calcula a
través de la gráfica sumando todas las áreas comprendidas entre la gráfica y el
eje horizontal, ya sea por encima del eje o por debajo. En este ejemplo es muy
sencillo, ya que dichas áreas corresponden a figuras geométricas muy conocidas,
como rectángulos, triángulos y trapecios. De no ser así, sería necesario
calcular una integral para conocer el área.
Del inciso anterior ya se tiene la distancia recorrida por
el móvil entre t = 0 s y t = 15 s, la cual es:
d1 = 250 m
Quedan por calcular las distancias entre t = 15 s y t = 25 s (triángulo rosado), y luego desde t = 25 s hasta t = 30 s (triángulo verde):
El área de un triángulo es:
Donde b es la base y h es
la altura, que en el ejemplo del triángulo rosado corresponden a:
b = (25 – 15 s) = 10 s
h= 20 m/s
Por último, para el triángulo verde:
La distancia total recorrida es, entonces, la suma:
d1 + d2 + d3
= 250 m + 100 m + 50 m = 400 m
Estas son solamente algunas de las preguntas que pueden responderse mediante el estudio de la gráfica velocidad versus tiempo de un móvil. Como se puede apreciar, en Física, una gráfica provee muchísima información de manera compacta y de fácil acceso, siempre que se la analice cuidadosamente.
Por F. Zapata
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