¿Se puede predecir a qué hora del día una criptomoneda se
cotizará en su valor más bajo o más alto?
A este proceso se le llama optimización. Sin embargo, el valor de una criptomoneda no es fácil de predecir,
ya que depende de una gran cantidad de factores. Lo que se hace entonces es analizar un gran número de datos
estadísticos para que ciertos patrones se pongan de manifiesto y, de esta forma, establecer una estimación en forma de función matemática, más o menos confiable, aunque
con limitaciones.
Al analizar esta función, se determina cuándo la cotización logra sus valores máximos y cuándo llega a sus mínimos, en una cierta escala de tiempo.
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| Fuente: Traders Union. |
Se trata de un procedimiento cuantitativo que ayuda en la toma de decisiones cuando la función matemática modela un determinado fenómeno, como el precio de las criptomonedas.
La optimización se usa mucho a la hora de establecer una relación costo-beneficio,
que como su nombre indica, relaciona los beneficios de un proyecto y los costos
de llevarlo a cabo. Normalmente, se querrá conocer el beneficio máximo y el
costo asociado a él.
No solo la economía busca la optimización. En ingeniería, ayuda
en el diseño de estructuras que puedan soportar cargas máximas y circuitos
electrónicos con el mayor rendimiento, o incluso ayuda a encontrar la ruta más
corta o la más rápida entre dos puntos.
Uno de los métodos para optimizar funciones sencillas es el de las
derivadas. Consiste en hallar los puntos críticos de la función objetivo, que
son aquellos en los que la primera derivada se anula o no existe, y luego
determinar si se trata de máximos o mínimos.
Enseguida se describirá la manera de hallar estos valores mediante problemas verbales que involucran funciones simples.
Procedimiento general para optimización
Lo primero es leer cuidadosamente el enunciado y así tener claro cuál es la función matemática con la que se va a trabajar y si se necesita hallar su máximo o su mínimo.
Por ejemplo, supongamos que se dispone de cierta cantidad de material y se quiere conocer el volumen máximo de un recipiente que se puede construir con él. En este caso, se necesitará construir una función para dicho volumen y expresarla en términos de alguna variable como radio o ancho, entre otras. Esto dependerá de la geometría del envase.
Luego, hay que hallar los puntos críticos de la función, que son aquellos en los que su primera derivada se anula. Por último, seleccionar entre ellos cuál maximiza la función.
A continuación, se ofrece una secuencia de pasos muy general, que se puede aplicar para resolver problemas de este tipo.
Paso 1: Establecer la función
El primer paso para resolver un problema verbal de
optimización es identificar la función que se quiere optimizar y dejarla
escrita en términos de una sola variable.
Es importante tener claro el dominio de la función, porque los valores de la variable que optimizan proceden de allí. Por
ejemplo, si se trata de optimizar el volumen de una caja con forma de cubo, este vendrá expresado
en términos de la longitud del lado, que solo toma valores positivos.
Paso 2: Calcular la primera derivada
Este paso se lleva a cabo utilizando las reglas de derivación para funciones de una variable, las cuales se han descrito en otro post.
Paso 3: Igualar la primera derivada a 0 y resolver la ecuación
resultante
Esta es la forma de determinar el conjunto de puntos críticos de la función, que
eventualmente pueden ser máximos o mínimos, o bien puntos donde la derivada no
existe.
Paso 4: Clasificar los puntos críticos
Hay varios criterios para esto, pudiéndose utilizar el signo
de la primera derivada:
I) Si x = c es un punto
crítico y f'(x) > 0 a la izquierda de x = c y f'(x) < 0 a la derecha de
x = c, se trata de un máximo.
II) Si, por el contrario, f'(x)
< 0 a la izquierda de x = c y f'(x) > 0 a la derecha, se trata de un
mínimo.
Lo anterior tiene mucho sentido, ya que la derivada es la
pendiente de la recta tangente a la curva. Entonces, antes de un mínimo, la
función es decreciente (pendientes negativas), y después creciente (pendientes
positivas), sucediendo lo contrario en el caso de un máximo.
La siguiente imagen ilustra lo dicho:
- Si
f''(c) > 0, entonces x=c es un mínimo local.
- Si
f''(c) < 0, entonces x=c es un máximo local.
En caso de que f''(c) = 0, se requiere información adicional
para determinar la naturaleza del punto crítico, pero este caso no suele resultar de
interés en la optimización.
Paso 5: Evaluar la función en el máximo o mínimo
Por último, se evalúa la función en el máximo o mínimo para
obtener su respectivo valor máximo o mínimo, según sea el caso.
Seguidamente, se describen varios ejemplos que ilustran
claramente el método a seguir. Comenzaremos con un ejemplo simple, en el que se
buscan dos números que cumplan determinadas condiciones.
Ejemplo 1
Encontrar dos números cuya suma sea 18, sabiendo que el producto de uno de ellos, por el cuadrado del otro, ha de ser máximo.
Solución
Como siempre, se asignarán dos letras que representen los
dos números, ya que aún no se conoce su valor. Se sumarán de modo que el
resultado sea 18:
x + y = 18
Por otro lado, el enunciado indica que: “… el producto de
uno de ellos, por el cuadrado del otro, ha de ser máximo”.
Esto significa que se debe plantear una función en la que
aparezca el producto de uno de ellos, por el cuadrado del otro:
f = xy2
Por supuesto, la función f = x2y también
serviría, pero con una de ellas es suficiente. En todo caso, la función elegida
es la que se debe maximizar.
Obsérvese que en f = xy2 aparecen ambas variables. Por lo tanto, con la condición planteada en primer lugar, se despeja
una de las variables en términos de la otra, para así obtener una función de
una sola variable:
y = 18 − x
Enseguida, se sustituye esto en la función:
f = x(18 − x)2 = x(182 −36x + x2)
= x3 − 36x2 + 324
Se encuentra su primera derivada:
f'(x) = 3x2 − 72x + 324
La derivada se iguala a 0, dando lugar, en este caso,
a una ecuación de segundo grado:
3x2−72x + 324=0
Las soluciones son:
x1 = 18
x2 = 6
Estas soluciones serán un máximo si f'(x) > 0 a la
izquierda de x = 18 y x = 6, y f'(x) < 0 a la derecha de los mencionados
valores.
También se puede utilizar el criterio de la segunda derivada
para comprobarlo. Como la primera derivada es una función polinómica, no es
difícil hacerlo y da como resultado una función lineal:
f''(x) = 6x −72
Ahora se evalúa en x = 6:
f''(6) = (6×6) −72 = −36
Dado que f''(6) es menor que 0, se trata de un máximo. El
procedimiento se repite con x =18:
f''(18) = (6×18) −72 = 36
Aquí, x = 18 es un mínimo y se descarta, ya que el enunciado
pide que el producto de los números sea máximo, lo cual se logra solo con x =
6.
En tal caso, el valor de y será:
y = 18 − 6 = 12
La conclusión es que los números buscados son 6 y 12, cuya suma es 18, y cuyo producto 6×122 = 864 es un máximo.
Ejemplo 2
La cotización C en $ de una criptomoneda durante cierto día del pasado trimestre, se puede modelar por la función:
C(t)=t(25t−250) + 1299
a) ¿Cuál fue la cotización a las 8 am de ese día?
b) ¿Cuál fue la cotización mínima alcanzada durante el día y a qué hora ocurrió?
c) Si alguien comprara 3 criptomonedas a esa hora, ¿cuánto tendría que pagar?
Solución
a) A las 8 am han transcurrido 8 horas desde la medianoche, por lo tanto, se sustituye t=8 en la ecuación para C(t) y se calcula su valor:
C(8)=8×(25×8−250) + 1299 = 899 $
b) Para hallar el mínimo se encuentra la primera derivada de C(t):
C´(t)= (25t2 − 250t+1299)´=50t −250
Enseguida, se iguala a 0 para obtener los puntos críticos:
50t −250=0
t = 250/50 h = 5 h
La cotización mínima ocurre a las 5:00 am y su valor es:
C(5)=5×(25×5−250) + 1299 = 674 $
¿Cómo se está tan seguro de que se trata de un mínimo y no un máximo?
Se puede emplear cualquiera de los dos criterios descritos anteriormente para asegurarlo, sin embargo, no es difícil darse cuenta de que C(t) es una función cuadrática, con coeficiente del término cuadrático positivo. Por lo tanto, su gráfica es una parábola que abre hacia arriba y el vértice es un mínimo global.
c) El precio de 3 criptomonedas compradas a la cotización más baja es de: 3×674 $=2022 $
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