Frances Physics: Máximos y mínimos de funciones

Cuando se tiene una función, es conveniente conocer cuáles son sus valores máximos y mínimos, si los tiene y a qué puntos del dominio corresponden. A los valores de la función que son máximos o mínimos se los conoce como extremos de la función.

Estos valores extremos se pueden determinar sobre una parte de la función o bien se puede evaluar todo el dominio en su búsqueda. Una función puede tener un máximo absoluto y un mínimo absoluto en un intervalo I, solo uno de ellos o ninguno, en cambio puede tener varios extremos locales, dependiendo del intervalo considerado. También puede pasar varias veces por el mismo máximo o mínimo.

Figura 1. Máximos y mínimos de una función. Modificado por F. Zapata.

Por ejemplo considérese la siguiente función de segundo grado:

f (x)= −(x−1)² + 4

Su gráfica es una parábola que abre hacia abajo, por lo tanto el vértice es un punto máximo y el único en todo su dominio. Por lo tanto f(x) = 4 es el máximo absoluto de la función.

Figura 2. Una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo tiene un máximo que coincide con su vértice. Fuente: F. Zapata.

Ahora considérense únicamente los valores de x comprendidos en el intervalo [2,4] de esa misma función.

El máximo absoluto de la función, que está en (1,4), no se encuentra en ese intervalo. Sin embargo, hay un valor máximo en dicho intervalo, que es f (2) = −(2−1)² + 4= 3 y también un mínimo, localizado en x = 4, cuyo valor es f (2) = −(4−1)² + 4 = −5. Cuando esta función se examina en todo su dominio, se ve que carece de un mínimo absoluto, ya que no existe un valor que se pueda considerar como el menor de todos.

En cambio, la función h(x) = x³ no tiene ni máximos ni mínimos en su dominio, ya que al tratarse de una función creciente, siempre es posible hallar un valor de f más grande o más pequeño que uno dado.

Figura 3.- La función cúbica siempre es creciente y por lo tanto carece de máximos y mínimos. Fuente: F. Zapata.

Los puntos críticos de una función

Los puntos críticos de una función son aquellos en los que:

-Se anula la primera derivada (puntos estacionarios).

-La primera derivada no existe (puntos singulares).

-Se encuentran en la frontera del intervalo a considerar (puntos frontera).

Encontrar los puntos críticos de una función es importante porque los máximos y mínimos son puntos críticos.

En la siguiente imagen se muestra un máximo y un mínimo de la función f(x), obsérvese que la recta tangente a cada uno de estos puntos es horizontal. Como la primera derivada de la función es la pendiente de la recta tan gente a la curva en un punto dado, resulta que la derivada en esos puntos es nula, porque las rectas horizontales tienen pendiente 0.

Si x = c es un punto en el cual la primera derivada se anula, es decir, f´(c)=0, se le denomina punto estacionario.

Figura 4. Si la pendiente de la recta tangente a un punto de la curva se anula, dicho punto puede ser un máximo o un mínimo. Fuente: F. Zapata.

Otra clase de puntos críticos importantes son aquellos en los cuales la primera derivada no existe, bien sea porque la pendiente de la recta tangente allí es vertical, o porque la función posee un quiebre o un pico acentuado, como en la figura 1. Estos puntos reciben el nombre de puntos singulares.

Finalmente, los puntos que se encuentran en la frontera del intervalo bajo estudio son también puntos críticos, como x = 2 y x = 4 en el ejemplo del comienzo. Es muy probable que en las fronteras del intervalo a considerar se encuentren valores máximos y mínimos.

Teoremas de máximos y mínimos

A partir de lo antes dicho es posible establecer dos teoremas importantes sobre los máximos y los mínimos de una función:

Teorema 1: existencia de puntos críticos

Si f es continua en un determinado intervalo cerrado [a,b], es seguro que tiene un máximo y un mínimo absoluto en dicho intervalo.

Es importante destacar que el intervalo debe ser cerrado, ya que si es abierto, aunque la función sea continua, es posible que no exista máximo o mínimo absoluto en él.

Teorema 2: puntos críticos y extremos

Si f está definida en un cierto intervalo [a,b], x = c pertenece a dicho intervalo y f (c) es un extremo, entonces c es un punto crítico.

También hay una observación importante:

No todos los puntos críticos de la función corresponden a un extremo.

Procedimiento para encontrar los valores extremos en un intervalo cerrado

Hallar los extremos de la función en un intervalo cerrado [a,b] es fácil a través de la primera derivada:

Paso 1

Encontrar la primera derivada.

Paso 2

Igualar la primera derivada a 0 y resolver la ecuación resultante:

f´(x) = 0

Las soluciones de dicha ecuación serán los puntos críticos: x₁, x₂, x₃….

Paso 3

Evaluar la función para cada uno de los puntos críticos obtenidos en el paso 2, es decir, encontrar:

f(x₁), f(x₂), f(x₃)…

Paso 4

Dado que se estudia la función en el intervalo cerrado [a,b], es necesario evaluar además f (a) y f (b).

Paso 5

Se comparan todos los resultados de:

f(x₁), f(x₂), f(x₃)…, f(a), f(b)

El mayor de todos será el máximo absoluto en el intervalo y el menor el mínimo absoluto en el intervalo.

Extremos de la función en todo su dominio

¿Qué sucede cuando se quieren encontrar los máximos y los mínimos en todo el dominio de la función? En tal caso se analiza cuidadosamente la monotonía de la función para dar un veredicto.

Si solamente hay un punto crítico, este puede ser máximo o mínimo, entonces se estudian los intervalos de crecimiento y decrecimiento o, alternativamente, emplear el criterio de la segunda derivada, que se describe seguidamente.

La gráfica de la función también ayuda a visualizar esto, como en el ejemplo del comienzo. De la figura 2 se aprecia que si f (c) es un mínimo, significa que cualquier valor próximo a f (c), ya sea por la izquierda o por la derecha, es mayor a f (c).

Y si por el contrario es un máximo, los valores de la función a su alrededor son todos menores a f (c).

Los siguientes teoremas son de ayuda para establecer si un punto crítico es máximo o mínimo local, luego, con ayuda de la gráfica, se puede establecer si se trata de máximos y mínimos absolutos en el dominio de la función.

Teorema 3: criterio de la primera derivada para máximos y mínimos locales

Si f es continua en un intervalo abierto (a,b) y el punto crítico x = c pertenece a este intervalo, entonces:

i) Si f´(x) > 0 para toda x que pertenece a (a,c) y f´(x) < 0 para toda x que pertenece a (c,b), se dice que f (c) es un máximo local de f.
En otras palabras, si f ´(x) pasa de ser positiva a ser negativa en x = c, evidentemente se trata de un máximo.
ii) Si f´(x) < 0 para toda x que pertenece a (a,c) y f´(x) > 0 para toda x que pertenece a (c,b), se dice que f (c) es un mínimo local de f.
Esto significa que si f´ (x) pasa de signo negativo a signo positivo en x = c, el valor es un mínimo.
iii) Si el signo de f´(x) es el mismo a ambos lados de x = c, f (c) no es ni máximo ni mínimo.

Teorema 4: criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos locales

Sea el intervalo (a,b) con x = c perteneciente a dicho intervalo y se cumple que f ´(x)=0.

Si f ´(x) y f ´´(x) son respectivamente la primera y la segunda derivada de f (x), las cuales existen en todo punto del intervalo, entonces:

i) Si f ´´(c) > 0, f(c) es un mínimo local de f.
ii) Si f ´´(c) < 0, f(c) es un máximo local de f.
iii) Si f ´´(c) = 0 el criterio no se aplica en ese caso.

Ejemplo resuelto 1

Hallar los puntos críticos de la siguiente función, identificando los máximos y los mínimos dentro del intervalo [0,4]:

f (x) = x³− 3x²+ 2

Solución

La primera derivada de esta función es:

f ´(x) = 3x² − 6x

Se iguala a 0:

3x² − 6x = 0

Se resuelve la ecuación, que en este caso es de segundo grado. El método de factorización es adecuado:

3x² − 6x = 3x(x−2) = 0

Las raíces son:

x₁ = 0
x₂= 2

Ambas raíces pertenecen al intervalo [0,4], seguidamente se calculan f (0), f (2) y f (4):

f (0) = 0³− 3∙0²+ 2 = 2

f (2) = 2³− 3∙2²+ 2 = 8 − 12+ 2 = − 2

f (4) = 4³− 3∙4²+ 2 = 64 − 48+ 2 = 18

El mínimo de la función es f (2) = − 2 y el máximo es f (4) = 18, estos son el mínimo y el máximo absoluto de la función dentro de este intervalo. El gráfico de f (x) se muestra a continuación:

Figura 5.- Gráfica de f(x) en el intervalo cerrado [0,4]. Fuente: F. Zapata.

Ejemplo resuelto 2

Hallar los máximos y mínimos de la función:

f (x) = x³− 3x²+ 2

Solución

En el ejemplo anterior se encontraron los valores máximo y mínimo para el intervalo cerrado [0,4]. Se trata ahora de determinar cuáles son los máximos y los mínimos en todo el dominio de la función, que es el intervalo (−∞,∞+).

Se sabe que los valores críticos son:

x₁ = 0
x₂= 2

Puesto que la primera derivada es:

f ´(x) = 3x² − 6x

Entonces, la segunda derivada resulta:

f ´´(x) = 6x − 6

f ´´(0) = 6∙0 − 6 = − 6 < 0

f ´´(2) = 6∙2 − 6 = + 6 > 0

De acuerdo al criterio de la segunda derivada, el punto (2, −2) es un mínimo local o relativo, y el punto (0, 2) es un máximo local o relativo. La gráfica de la función es:

Figura 6.- Gráfica de f(x) = x³− 3x²+ 2. Fuente: F. Zapata.

No son extremos absolutos, ya que examinando la función en todo su dominio, siempre es posible encontrar un valor más pequeño que – 2 o más grande que +2.

Pero si se restringe el dominio a un determinado intervalo cerrado, como el [0,2] por ejemplo, se ve que efectivamente son los extremos absolutos en dicho intervalo.

Ejemplo resuelto 3

Determinar los puntos críticos de f(x) = x⁴ − 2x² y clasificarlos.

Solución

1) Se halla la primera derivada:

f´(x) = 4x³− 4x = 4x (x² − 1)

Se trata de una función continua en el con junto de los números reales, ya que es un polinomio.

2) Se iguala a 0 la primera derivada:

4x (x² − 1) = 0

3) Se resuelve la ecuación obtenida, las soluciones son:

x₁ = 0
x₂ = 1
x₃ = −1

4) Se encuentran los valores de f(x₁), f(x₂) y f(x₃):

f (0) = 0⁴ − 2∙0² = 0

f (1) = 1⁴ − 2∙1² = − 1

f (− 1) = (− 1)⁴ − 2∙(−1)² = − 1

Hay un valor mínimo de la función, que es f(x) = −1 y que se alcanza dos veces, en x = 1 y en x = −1. Y el valor f (x) = 0 es un máximo local.

El criterio de la segunda derivada lo confirma:

f ´´ (x) = 12x² − 4

f´´ (0) = − 4 < 0

f ´´(1) = f ´´(−1) = 8 > 0

Y la gráfica de la función señala que los puntos (−1, −1) y (1, −1) son mínimos absolutos, mientras que (0,1) es un máximo local. La función no tiene un máximo absoluto en su dominio.