Como sabemos, la fuerza que ejerce la masa de líquido sobre las paredes horizontales y verticales del recipiente se distribuye sobre la superficies del mismo.
La distribución es homogénea sobre la superficie horizontal (figura 2a), de manera que la fuerza equivale al producto de la presión y el área superficial.
Sin embargo, en las paredes verticales tiene forma de cuña, como se ve en las figuras 2b y 2c.
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| Figura 1. El fluido ejerce fuerza sobre las paredes de la piscina. Fuente: Pixabay |
¿Qué sucede si la pared está inclinada cierto ángulo θ con
respecto a la vertical? Lo que aprendimos acerca de la fuerza sobre las paredes verticales nos va servir en este caso, solamente debemos añadir el efecto del ángulo de inclinación.
Vamos a encontrar expresiones para la fuerza y el centro de presiones que involucran caracetrísticas de la geometría de la pared, a saber:
Estas características se encuentran tabuladas.
De esta manera sabremos cómo afecta la masa de líquido a la compuerta que ya tenemos o la que queremos diseñar.
Vamos a encontrar expresiones para la fuerza y el centro de presiones que involucran caracetrísticas de la geometría de la pared, a saber:
- El centro de masa
- El momento de inercia
Estas características se encuentran tabuladas.
De esta manera sabremos cómo afecta la masa de líquido a la compuerta que ya tenemos o la que queremos diseñar.
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| Figura 2. Fuerzas distribuidas sobre superficies horizontales, verticales e inclinadas. Fuente: F. Zapata. |
Diagrama de la pared inclinada
Consideremos
la pared inclinada de la figura 3, de la cual vemos su sección.
Escogemos un área diferencial dA sobre la pared, tal como se hizo en el caso de la pared vertical.
Dicho diferencial de área está a una profundidad z por debajo de la superficie libre del líquido.
Escogemos un área diferencial dA sobre la pared, tal como se hizo en el caso de la pared vertical.
Dicho diferencial de área está a una profundidad z por debajo de la superficie libre del líquido.
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| Figura 3. Esquema de la compuerta inclinada. Fuente: F. Zapata. |
Nótese que
θ es el ángulo entre dicha superficie libre y la pared.
Partiendo de:
Cálculo del empuje sobre la pared o compuerta
Partiendo de:
dF = p.dA =
ρ.g.z.dA
Fijándonos
en el triángulo rectángulo de la figura 3, del cual θ es ángulo agudo, por trigonometría tenemos:
z = x.senθ
Por lo
tanto:
dF = ρ.g.(x
senθ).dA
Integrando
a ambos lados se obtiene:
Ahora vamos a encontrar una expresión general que incluya las características antes mencionada de la compuerta.
Notemos que la integral ∫ x.dA está relacionada con el centro de masa de una superficie plana.
Sea xcm la posición del centro de masas, que a partir de las aplicaciones del cálculo integral sabemos que viene dada por:
Podemos despejar de aquí la integral ∫ x.dA que necesitamos para encontrar la
magnitud de la fuerza.
¿Por qué lo hacemos así? Pues porque la posición del centro de masas coincide con el centroide de la figura plana, la forma que tiene la pared.
Y el centroide está tabulado para diversas superficies, así que en vez de calcular la integral directamente -para un caso particular-, lo que hacemos es expresarla en términos de otras características que podemos conocer fácilmente a través de las dimensiones de la compuerta.
¿Por qué lo hacemos así? Pues porque la posición del centro de masas coincide con el centroide de la figura plana, la forma que tiene la pared.
Y el centroide está tabulado para diversas superficies, así que en vez de calcular la integral directamente -para un caso particular-, lo que hacemos es expresarla en términos de otras características que podemos conocer fácilmente a través de las dimensiones de la compuerta.
En cuanto a
la integral que está en el denominador, esta es inmediata:
∫dA = A
Y si se trata de una superficie con una forma geométrica conocida, disponemos de fórmulas para calcularlas.
Finalmente podemos escribir la integral como:
∫dA = A
Y si se trata de una superficie con una forma geométrica conocida, disponemos de fórmulas para calcularlas.
Finalmente podemos escribir la integral como:
∫ x.dA = A.
xcm
Esto nos da una expresión para la magnitud de la fuerza, o empuje sobre la pared, que podemos utilizar para compuertas con formas geométricas conocidas:
F = ρ.g. sen θ. A. xcm
Y sabiendo que sen θ. xcm es la profundidad del centro de masas, a la cual
llamaremos zcm, el empuje se
calcula mediante:
F = ρ.g.
A. zcm
Por lo tanto concluimos que:
El empuje total que ejerce un líquido sobre una superficie plana es el
producto del área por la presión hidrostática que actúa sobre su centro de
masa.
El centro de
presiones
¿Dónde aplicamos esta fuerza que acabamos de calcular? Recordemos
que la pared debe encontrarse en equilibrio estático, así que la sumatoria de
los momentos producidos por todas las fuerzas que actúan sobre ella debe anularse,
sin importar el eje seleccionado para calcularlos.
Así que el empuje debe actuar sobre el punto llamado centro
de presiones, tal como vimos que sucede para el caso de la pared vertical.
Para determinar la ubicación del centro de presiones, tomemos
momentos de estas fuerzas alrededor del punto (0,0) que está sobre la línea que
une el borde superior de la superficie con el líquido. La coordenada x del
punto de aplicación del empuje la llamaremos xcp.
La magnitud del momento es:
F. xcp
. senθ
Pero recordemos que nuestra fuerza está distribuida:
dF = P.dA
Necesitamos sumar todas las contribuciones al momento, por lo tanto evaluamos la integral:
Pero recordemos que nuestra fuerza está distribuida:
dF = P.dA
Necesitamos sumar todas las contribuciones al momento, por lo tanto evaluamos la integral:
Ahora despejemos cuidadosamente xcp:
La integral del denominador es familiar, ya que anteriormente la expresamos en términos del centroide del área:
La integral del denominador es familiar, ya que anteriormente la expresamos en términos del centroide del área:
∫ x.dA = A.
xcm
En cuanto a la integral del numerador ∫ x2.dA, esta se relaciona con otra
cantidad importante en Mecánica: el momento
de inercia respecto al punto O, al cual llamaremos IO.
Ahora bien, el momento de inercia no especifica eje alguno,
sin embargo, cada vez que calculamos el momento de inercia debe hacerse
escogiendo un eje. Y no todos los momentos de inercia respecto a ejes arbitrarios están tabulados.
Lo usual
es que en las tablas aparezca el momento de inercia con respecto a un eje que
pasa por el centro de masas.
Del curso de Mecánica, el lector recuerda sin duda el
teorema de Steiner, también llamado teorema
de los ejes paralelos.
Io = Ig + A.xcm2
Esto lo sustituimos en la ecuación para xcp y
hacemos un poco de álgebra para obtener finalmente:
De inmediato observamos que el centro de presiones debe estar por debajo del centro de masa para asegurar el equilibrio de la pared o la compuerta.
La profundidad del centro de presiones
Con
frecuencia interesa la profundidad debajo del agua del centro de presiones zcp de una pared plana inclinada un ángulo θ.
Para escribir una expresión general de la profundidad, basta con multiplicar xcp por sen θ y llevar a cabo el álgebra correspondiente:
•
•
Ejemplo resuelto
a) Determine
la fuerza resultante debida a la acción del agua dulce sobre el área triangular CD
mostrada en la figura, cuyas dimensiones son:
a = 1,2
m
h =1,8 m
C es el
vértice del triángulo
b) Encuentre
el centro de presiones.
Solución a
Para
calcular el empuje usaremos:
E=r.g.senθ.xcm. A
Se necesita el centro de masa de un triángulo, el cual hallamos en una tabla de centros de masa de figuras geométrica. De allí tenemos:
Xcm= 2h/3
Nótese que la tabla de centros de masas nos da el Xcm medido a
partir de C, el cual se ha representado mediante el punto en fucsia de la figura.
Pero en nuestra fórmula del empuje, necesitamos la ubicación medida a partir de la superficie libre del fluido, en este caso agua.
Por tal motivo, a Xcm= 2h/3 hay que añadirle (1/sen45º) m, para obtener en definitiva la que vamos a sustituir en la fórmula:
xcm= (1/sen45º) m + (2 x 1.8/3) m = 2.614 m
En cuanto al área de la compuerta, es la de un triángulo:
A = (base x altura) / 2
Por lo tanto:
A= ((1.8
x1.2)/2) m2= 1.08 m2
La densidad del agua se toma como 1000 kg/m3.
Sustituyendo los valores en la ecuación del empuje:
F= (1000 x 9,8 x sen45º
x 2.614 x 1.08) N =19.563,2 N
Solución b
b) Para ubicar el centro de presiones, se necesitará el momento de inercia respecto al centro de masas, al que llamamos Ig, que según las tablas es:
Ig=
(bh3)/36
Todo medido desde C. Sustituimos las dimensiones de la compuerta para obtener:
Finalmente obtenemos la posición del centro de presiones de la compuerta, utilizando valores que ya tenemos del apartado a:
xcm = 2.614 m
A= 1.08 m2
El lector ahora puede calcular fácilmente la profundidad a la que se encuentra el centro de presiones.
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