Ángulos en la circunferencia: Ejercicios Resueltos (primera parte)

Ejercicio 1 (Ángulo central)

La circunferencia de la figura 1 muestra tres ángulos centrales sobre la circunferencia c: ∠AOB, ∠COD y ∠FOE.  Si el radio de la circunferencia es 2 cm determine la longitud de los arcos subtendidos por dichos ángulos centrales en centímetros, sabiendo que las medidas de los ángulos son 15º, 105º y 180º respectivamente.
Solución:
La longitud del arco es igual al producto del radio de la circunferencia por el ángulo medido en radianes. Por lo tanto lo primero es convertir los valores dados en grados a radianes:

15º → 15º (π/180º) = π/12 rad

105º → 105º (π/180º) = 7π/12 rad

180º → 180º (π/180º) = π rad

A⌒B = 2cm (π/12 rad) = 0,524 cm

C⌒D = 2cm (7π/12 rad) = 3, 65cm

F⌒E = 2cm (π rad) = 6,283cm

Ejercicio 2 (Ángulo inscrito y ángulo central)

En la figura 2 se muestran dos ángulos. El primero tiene medida α = 15º y el segundo tiene medida β = 120º. Determine la longitud de los arcos d y e sabiendo que la circunferencia tiene 3 cm de radio.

Solución:

Usando el teorema del ángulo inscrito, el cual afirma que su medida es igual a la mitad de la medida del ángulo central que intercepta el mismo arco, se tiene que:

∠AOC = 2 ∠ABC = 2*15º = 30º = π/6 rad

La longitud del arco A⌒C = d = 3cm * π/6 = 1,57 cm.

∠DOC = 120º = 120º (π/180º) = 2π/3 rad

La longitud del arco D⌒E = e = 3cm * 2π/3 = 2π cm = 6,28 cm.