Ejercicios de congruencia de triángulos

Ejercicio 1

En la figura se muestran dos triángulos ΔABC y ΔECF. Se sabe que AC=EF, que AB = 6 y que CF = 10. Además los ángulos ∡BAC y ∡FEC son congruentes y los ángulos ∡ACB y ∡FCB también lo son. Entonces la longitud del segmento BE es igual a:

(i).- 5 (ii).- 3 (iii).- 4 (iv).- 2 (v).- 6.

Solución: Como los dos triángulos tienen un lado de igual longitud AC=EF comprendido entre los ángulos iguales ∡BAC = ∡CEF y ∡BCA = ∡CFE puede decirse que los dos triángulos son congruentes por el criterio ALA.
Es decir ΔBAC = ΔCEF por lo que se tiene que:
BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Pero el segmento que quiere calcularse es BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

De modo que la respuesta correcta es la (iii).

Ejercicio 2

En la figura que sigue se muestran tres triángulos. Se sabe además que los dos ángulos indicados miden 80º cada uno y que los segmentos AB = PD y AP = CD. Encontrar el valor del ángulo X señalado en la figura.

Solución: Usando el criterio de congruencia de triángulos LAL puede afirmarse que los triángulos BAP y PDC son congruentes:

ΔBAP = ΔPDC

Lo que conduce a afirmar que BP = PC, de lo que se sigue que el triángulo ΔBPC es isósceles por lo que ∡PCB = ∡PBC = X.

Si llamamos γ al ángulo BPC se sigue que:
2x + γ = 180º

Y si llamamos β a los ángulos APB y DCP y α a los ángulos ABP y DPC se tiene entonces:
α + β + γ = 180º ya que APB es un ángulo plano.

Además, α + β + 80º = 180º por suma de ángulos internos del triángulo APB. Combinando estas expresiones se tiene que α + β = 100º y que por lo tanto γ = 80º. De donde se sigue que 2X + 80º = 180º y por lo tanto X = 50º.