Un fluido en reposo aplica presión hidrostática sobre las
paredes del recipiente que lo contiene, así como también sobre cualquier
superficie sumergida. Y si hay presión, hay fuerzas perpendiculares sobre dicha
superficie, dado que no hay esfuerzos de corte dentro de un fluido en
equilibrio estático.
Superficie plana horizontal
Ahora bien, la presión que ejerce el fluido hace que la
fuerza sobre la superficie, llamado empuje hidrostático, se distribuye sobre
esta.
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| Figura 1. El agua ejerce fuerzas distribuidas sobre las paredes de la piscina y las superficies de cualquier objeto sumergido en ella. Fuente: Pixabay. |
La presión se debe al peso de la masa de agua y a los choques que las
moléculas de agua tienen continuamente con las paredes, dicha distribución es
uniforme sobre el área del fondo plano de un recipiente, como por ejemplo una
piscina.
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| Figura 2. La fuerza se distribuye de manera uniforme en el fondo. Fuente: F. Zapata. |
Calcular la fuerza total que ejerce el fluido sobre el fondo
es muy sencillo, ya que la presión promedio P se define como el cociente entre
la fuerza y el área de la superficie. Dado que la presión es la misma para
todos los puntos que se encuentran a una misma profundidad, tendremos:
P = F/A → F = P.A
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| Figura 3. Vista frontal de la distribución de fuerzas. Fuente: F. Zapata. |
Ejemplo
resuelto 1
Se tiene una piscina llena de agua dulce, cuyas dimensiones
son 22 m x 8.5 m x 2 m. ¿Cuál es la fuerza total resultante ejercida por la
masa de agua sobre el fondo?
Solución
La presión varía con la profundidad como:
P = Patm + ρgh
Donde Patm es la
presión atmosférica a nivel del mar, la cual tomamos como 101325 Pa, ρ es la
densidad del fluido, en este caso agua dulce, la cual es de 1000 kg/m3 y h es la profundidad correspondiente, que
según los datos suministrados es de 2 m.
Por lo tanto la presión en el
fondo es:
P = 101325 + (1000 x 9.8 x 2) Pa =
120925 Pa
El área sobre la cual actúa esta
presión es la del fondo de la piscina:
A = 22 m x 8.5 m = 176 m2.
La fuerza ejercida es:
F = P. A = 120925 Pa x 176 m2
= 22612975 N = 22.6 MN
Ejemplo
resuelto 2
Problema 4.11 del libro Mott, R. Mecánica de Fluidos.
Calcular la fuerza total (resultante) en el fondo del tanque
cerrado mostrado, si el aire se encuentra a presión manométrica de 52 kPa.
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| Figura 4. Un tanque con varias capas de fluidos superpuestas. Fuente: Mott, R. Mecánica de Fluidos. |
Solución
El área del fondo es A = 1.2 m x 1.8 m = 2.16 m2
La fuerza debido al peso de los líquidos y el aire se
distribuye de manera homogénea sobre la superficie del fondo. Calculemos las
presiones manométricas de cada fluido:
Pagua = ρagua x gh = 1000 x 9.8 x 0.75
Pa = 7350 Pa
Paceite = ρaceite x gh = 0.85 x 1000 x
9.8 x 0.50 Pa = 4165 Pa
Paire = 52 kPa, según el enunciado.
La presión relativa de los fluidos en el fondo es:
7350 Pa + 4165 Pa + 52000
Pa = 63515 Pa
Por lo tanto F = P.A = 63515 Pa x 2.16 m2 =
137192.4 N = 137.2 kN
Fuerza sobre paredes verticales
rectangulares
La distribución de fuerzas sobre una pared vertical de una
piscina o tanque rectangular es horizontal. Ya que la presión varía con la
profundidad, así también lo hace la fuerza, como podemos apreciar en la
siguiente figura.
La presión manométrica en un punto a nivel de la superficie libre del
fluido es 0 y va aumentando a medida que lo hace la profundidad, formando el
triángulo de la figura. La fuerza resultante está aplicada en un punto llamado centro de presión CP.
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| Figura 5. Distribución de fuerzas sobre una pared vertical. Fuente: F. Zapata. |
Ya que la fuerza no está
distribuida homogéneamente sobre la superficie, sino que sigue una distribución
lineal, para calcularla es preciso hacer uso de
la definición de presión sobre un área sumamente pequeña, llamada dA:
p = dF / dA→ dF = p.dA
El área dA en cuestión es una tira
rectangular muy estrecha que vamos a tomar en la pared del recipiente o tanque,
tiene ancho b y altura dz. Como es un rectángulo, su área es el producto de su
base por su altura:
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| Figura 6. Un área diferencial rectangular dA, de ancho b y altura dz. Fuente: F. Zapata. |
La presión manométrica p es una
función de la profundidad z. La llamaremos p (z) y la escribimos como:
p(z) = ρ.g.z = γ.z
Donde γ es el peso específico del
fluido, el cual se considera constante en nuestro análisis.
Sustituimos en la definición de
dF:
dF = (γ.z) (b.dz)
El resultado anterior lo podemos
expresar de la siguiente manera:
Pero el producto b.h es igual al área A de la pared, la cual es homogénea.
Tratándose de una pared rectangular, su centro de masa está en el centro
geométrico de la pared, a una distancia h/2 medida desde la superficie libre
del fluido.
Para una pared rectangular de
altura h y anchura b, la fuerza, también llamada empuje, se puede expresar como:
F = γ.A.zcm
Donde γ es el peso específico del
fluido, A el área de la pared y zcm la ubicación del centro de masa
del rectángulo. Al producto γ.A.zcm se lo conoce también como volumen del prisma de presión.
La fuerza está distribuida, pero
podemos suponer la resultante aplicada en el punto CP de la figura. Este punto,
que es el punto de acción de la fuerza, se encuentra en el centroide del
triángulo de distribución de presión, localizado a una distancia h/3 medida desde el fondo, como se ve
en las figuras anteriores.
El centro de presiones está por
debajo de la posición del centro de masas, de esta forma la pared está en
equilibrio hidrostático.
Ejemplo resuelto 3
Calcular la fuerza y el centro de presión sobre las paredes
de la piscina del ejemplo resuelto 1.
Solución
Las dimensiones de la piscina son 22 m x 8.5 m x 2 m, siendo
la profundidad de 2 m. Una de las paredes rectangulares es de 8.5 m x 2 m, la
más corta y la otra es de 22 m x 2 m, que es la más larga.
Pared corta
F = γ.A.zcm
A = 8.5 m x 2 m = 17 m2
γagua = ρ.g = 9800 N/m3
El centroide de la pared está ubicado a la altura del centro
geométrico. Si h = 2 m, entonces zcm = 1 m, tomando como z = 0 la
superficie libre del agua. Poniendo todos estos valores en la ecuación de la
fuerza:
F = γ.A.zcm = 9800 x 17 x 1 N = 166600 N.
Pared larga
A = 22 m x 2 m =
44 m2
Los demás datos son los mismos que los de la pared corta,
por lo tanto:
F = γ.A.zcm = 9800 x 44 x 1 N = 431200 N.
El centro de presión se encuentra a una distancia h/3 medida
desde el fondo. Como h = 2 m, entonces CP está a 2/3 m medida desde el fondo de
la piscina, o a z = 1/3 m, medida desde la superficie libre del fluido, en la
cual z = 0 m.
Fuerza sobre una compuerta vertical
Supongamos que no queremos calcular la fuerza sobre la pared
completa, sino sobre una compuerta ubicada sobre la pared vertical. La forma de
la compuerta puede ser cualquiera: cuadrada, rectangular, circular u otra.
En este caso nos ceñimos a calcular la fuerza o empuje sobre
el área de la compuerta, mientras que para hallar el centro de presiones se
requiere ubicar el centroide de la compuerta.
Ejemplo resuelto 4
Calcular la anchura que debe tener una compuerta plana,
rectangular y vertical para soportar un empuje hidrostático de 153.6 kg de un
líquido cuyo peso específico es de 9310 N/m3, si la altura del
líquido coincide con la altura de la compuerta y es de 35.4 pulg. Diga a que
profundidad se encuentra el centro presiones sobre la compuerta.
Solución
El ancho de la compuerta es w. En primer lugar es preciso pasar las
unidades a Sistema Internacional:
Empuje: F=153,6 kg-fuerza = 1505.3
N
Altura de la compuerta: h
= 35.4 pulgadas = 0.89916 m
El centroide de la
compuerta está a una profundidad h/2 = 0.89916 m / 2 = 0.44958 m
Con estos datos:
F = γ.A.zcm
1505.3 = 9310 x A x 0.44958
Podemos despejar el área A:
A = (1505.3 / 4185.6 ) m2
= 0.35964 m2
El área es el producto de la anchura por la altura de la
compuerta: A = w.h, entonces despejamos w:
w = A/h = 0.35964
m2 / 0.89916 m = 0.4 m = 40 cm
El centro de
presiones sobre la compuerta está ubicado a una distancia h/3 desde el fondo
hacia arriba:
h/3 = 0.89916 m /3 = 0.3 m = 30 cm
Pero como nos
piden el centro de presiones, ya que la compuerta mide 0.89916 m = 89.916 cm de
largo, dicho punto está a una profundidad de:
Por F. Zapata
Referencias
- Cimbala, C. 2006. Mecánica de Fluidos, Fundamentos y Aplicaciones. Mc. Graw Hill.
- Franzini, J. 1999. Mecánica de Fluidos con Aplicación es en Ingeniería. Mc. Graw Hill.
- Mott, R. 2006. Mecánica de Fluidos. 4ta. Edición. Pearson Educación.
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