Frances Physics: Ejercicios resueltos de puntos en el plano

Por Fanny Zapata

Ejercicio 1

Dados los puntos A(2,4); B(x,1); C(1,5). Si:

$\overline{AB} = \overline{BC}$

Encuentre el valor de x.

Solución

Cuando nos dicen que:

$\overline{AB} = \overline{BC}$

Significa que la longitud del segmento que une los puntos A y B mide igual que la longitud del segmento que une a B con C. Estas longitudes no son más que las distancias entre los puntos.

La fórmula para calcular la distancia entre dos puntos P₁ y P₂, de coordenadas respectivas P₁ (x₁,y₁) y P₂ (x₂, y₂) es:

$d_{12}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

La distancia entre A y B con los valores que nos han dado es:

$d_{AB}=\sqrt{(x-2)^{2}+(1-4)^{2}}=\sqrt{(x-2)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{(x-2)^{2}+9}$

La distancia entre B y C es:

$d_{BC}=\sqrt{(x-1)^{2}+(1-5)^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+16}$

El orden en que tomemos las coordenadas de los puntos no importa, es decir, primero puede ir A y luego B o viceversa, porque todo va elevado al cuadrado y queda positivo siempre.

Como d_AB = d_BC igualamos las dos raíces:

$\sqrt{(x-2)^{2}+9}=\sqrt{(x-1)^{2}+16}$

Elevamos al cuadrado en ambos lados para eliminar las raíces:

$(x-2)^{2}+9 = (x-1)^{2}+16$

Desarrollamos los productos notables con la fórmula: (x – a)² = x² – 2ax + a²:

x²– 4x + 4 + 9 = x² -2x + 1 + 16

Se pasan a la izquierda de la igualdad todos los términos con x y a la derecha se ponen los números:

x²– 4x –x² + 2x= 1 + 16 - 4 – 9

Se agrupan los términos semejantes, notando que los de x² se cancelan por tener signos opuestos:

-2x = 4

Y se despeja el valor de x:

x = 4 /(-2) = -2

x= -2

Ejercicio 2

Dados los puntos A(-2,6); B(2,4); C(4,-2), hallar el punto medio y la distancia de:

$\overline{AB};\overline{BC}, \overline{AC}$

Solución

El punto medio P_m de un segmento tiene las siguientes coordenadas, donde los puntos P₁ (x₁,y₁) y P₂ (x₂, y₂) son los extremos de dicho segmento:

$p_{m}=\frac{{x_{1} + x_{2}}}{2};\frac{{y_{1} + y_{2}}}{2}$

El punto medio del segmento AB se calcula tomando:

x₁ = -2

x₂ = 2

y₁ = 6

y₂ = 4

$P_{m}=\frac{{-2 + 4}}{2};\frac{{6 + (-2)}}{2}= \left (1;2 \right )$

Da igual el orden de los puntos, pero se debe consistente.

Ahora repetimos el procedimiento para el segmento AC:

x₁ = -2

x₂ = 4

y₁ = 6

y₂ = -2

$P_{m}=\frac{{-2 + 4}}{2};\frac{{6 + (-2)}}{2}= \left (1;2 \right )$

Por último encontramos el punto medio del segmento BC:

x₁ = 2

x₂ = 4

y₁ = 4

y₂ = -2

$P_{m}=\frac{{2 + 4}}{2};\frac{{4 + (-2)}}{2}= \left (3;1 \right )$

Las distancias entre los puntos extremos que determinan los segmentos se encuentran con la misma fórmula usada en el ejercicio 1:

$d_{12}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Así:

$d_{AB}=\sqrt{(-2-2)^{2}+(6-4)^2}=\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$

$d_{AC}=\sqrt{(-2-4)^{2}+(6-(-2))^2}=\sqrt{(-6)^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

$d_{BC}=\sqrt{(-2-4)^{2}+(4-(-2))^2}=\sqrt{(-6)^{2}+6^{2}}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$

Ejercicio 3

Un ciclista parte del punto A(0,2) y en su recorrido pasa por los puntos:

B (3,2), C (3,4), D (0,4), E (-2,4) y llega al punto F(-2,0).

¿Cuál es la distancia recorrida? Usa el plano cartesiano para ubicar los puntos.

Solución

Los puntos se pueden dibujar a mano sobre un papel milimetrado o mediante un software gratuito online como Geogebra, por ejemplo. Y del dibujo se puede calcular la distancia recorrida.

Esta también equivale a la suma de las longitudes de todos los segmentos:

$\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DE}+\overline{EF}$

Que se calculan mediante la fórmula:

$d_{12}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Comenzamos:

$d_{AB}=\sqrt{(0-3)^{2}+(2-2)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3$

$d_{BC}=\sqrt{(3-3)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$

$d_{CD}=\sqrt{(3-0)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3$

$d_{DE}=\sqrt{(0-(-2))^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=\sqrt{4}=2$

$d_{EF}=\sqrt{(-2-(-2))^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}=4$

La distancia total recorrida es: 3 + 2 +3 +2 + 4 = 14 unidades, que igualmente se podían contar del dibujo. Las flechas señalan la ruta del ciclista. Observar que la escala del eje horizontal no es igual a la del vertical. En el eje horizontal la escala va de 2 en 2, mientras que en el eje vertical va de 1 en 1.