Aquí trataremos un método muy simple, utiliza para llevar a cabo integrales definidas en forma numérica, en el cual se hace uso del área de un rectángulo y se basa en la suma de Riemann, con la que usualmente se introduce el tema de las integrales definidas.
Es bien sabido que muchas
de las integrales definidas que aparecen en modelos físicos, estadísticos o de
ingeniería no siempre pueden resolverse de manera analítica. En estos casos, los
métodos numéricos proporcionan una alternativa muy efectiva y fácil de
implementar, siendo el del rectángulo el más sencillo.
Método del rectángulo
Dado que la integral
definida entre a y b representa el área bajo la curva suave f(x) comprendida entre
x=a y x=b, lo más inmediato es subdividir dicha área en rectángulos, tal y como
se muestra en la figura de abajo.
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| Fuente: OpenStax. |
Como es bien sabido,
el área de un rectángulo es el producto entre su base y su altura. Entonces, se
calcula el área de cada uno de estos rectángulos y finalmente se suman todas,
dando como resultado el valor aproximado de la integral.
Cuanto mayor el número
de rectángulos, más estrechos serán y la aproximación será cada vez mejor.
El ancho o base
de cada rectángulo puede ser diferente, mientras que la altura se toma
como el valor de f(x) cuando x = mi, es decir, el punto medio de la
base. Sin embargo, lo más cómodo es tomar rectángulos que tengan todos la misma
anchura predeterminada.
Nota importante: Otras variantes de este método emplean el
punto izquierdo del rectángulo, o bien el punto derecho, en vez del punto medio,
pero la elección de este último es bastante razonable, pues se pretende que el
tope de cada rectángulo se ajuste lo mejor posible a la forma de la curva.
Tomando como
referencia la figura mostrada anteriormente, el área bajo la curva A,
comprendida entre x=a y x=b se ha subdividido en cuatro rectángulos, por lo
que, de manera aproximada, su valor calculado con este método sería:
A≈ A1+A2+A3+A4
= (x1-x0)*f(m1) +(x2-x1)*f(m2)
+(x3-x2)*f(m3) +(x4-x3)*f(m4)
Por supuesto, el área
bajo la curva obtenida de esta manera será una aproximación, pues algunos
rectángulos quedan por encima de la función y otros por debajo. Pero si se
emplean muchos rectángulos muy estrechos, es posible afinar la aproximación
tanto como se desee, aunque a medida que aumenta el número de rectángulos, se tiene
la desventaja del mayor tiempo de cálculo.
Procedimiento para implementar el
método del rectángulo
- Se divide el intervalo [a,b] en n sub intervalos de igual longitud, cada una de las cuales resulta:
Obteniéndose
los siguientes valores de la variable:
x0 = a
x1 = x0 + h
x2 = x1 + h
x3 = x2 + h
.
.
.
xn = xn-1 + h=b
- Se calculan los puntos medios de cada sub intervalo promediando sus extremos:
- Se evalúa la función para cada punto medio y luego se la multiplica por el valor de h. Con esto se obtiene el área de un rectángulo.
- Por último, se suman todos los productos (áreas) formados en el paso anterior. Con esto, la integral definida entre a y b queda así:
Ejemplo 1
Resolver numéricamente la integral
propuesta por el método del rectángulo, tomando:
a) n=5
b) n=10
c) n=20
Solución
a) Integración numérica con n= 5, comenzando con el cálculo de h (el paso) y planteando la sumatoria de las áreas de los rectángulos que aproximan el área bajo esta curva en particular::
Los extremos de cada intervalo son:
x0 = 3
x1=3+3/5=18/5
x2=18/5 + 3/5=21/5
x3=21/5 + 3/5=24/5
x4=24/5 + 3/5=27/5
x5=27/5 + 3/5=30/5=6
Nótese que los extremos de los intervalos se comienzan a contar desde 0 hasta n, pero los puntos medios se van a contar desde 1 hasta n.
Habrá tantos puntos medios como rectángulos
(sub intervalos).
Finalmente, la operación para determinar la integral resulta en:
El resultado está
bastante cerca del valor real en este caso, y conforme aumente el valor de n, la
aproximación será mucho mejor. Desde luego, siempre habrá un error, del que
hablaremos luego.
Otra cosa que es
importante destacar es el hecho de que, en la práctica, no siempre se tiene a
la mano la expresión algebraica exacta para la integral (justamente por eso se
necesita calcularla numéricamente, porque no se dispone de una expresión
algebraica o es difícil hallarla. Aquí se trabaja con un ejemplo sencillo en el
que sí se pudo obtener el valor exacto, porque el objetivo es averiguar acerca
de las bondades del método numérico).
b) Integración numérica para n=10, para la cual el paso h obviamente es menor:
Como el valor de n se ha duplicado, es claro que habrá más cálculos, que se pueden hacer con mayor orden y comodidad mediante
una tabla de Excel, la cual se ha ordenado de la manera siguiente,
comenzando de izquierda a derecha:
—En la columna de la izquierda se
encuentra el valor de n, comenzando en 0 para incluir el extremo
izquierdo del intervalo [a,b]= [3,6].
—Luego está el valor de cada xn,
el cual se obtiene sumando h=0.3 al valor anterior. Esta columna siempre
empieza en a y termina en b. Por eso en el ejemplo comienza en 3 y termina en
b.
—Enseguida aparece la columna para los puntos
medios de cada intervalo, calculados como se indicó previamente, es decir,
tomando el promedio de los valores extremos del sub intervalo. Recuérdese que
los puntos medios se destacan con una barra encima, para distinguirlos de estos
extremos.
—Después está la columna donde se evalúa
la función para cada punto medio calculado en el paso previo. En el ejemplo
que nos ocupa, la función se escribe así:
—Por último, la columna izquierda está
formada por los productos:
Al final de esta columna está la sumatoria,
que es el valor buscado de la integral.
El resultado de la integral con 10 rectángulos es 125.955, observándose que, en efecto, se acerca más al valor exacto que el resultado con 5 rectángulos.
c) Integración numérica para n=20 rectángulos, la tabla se elabora de la misma manera que la tabla del apartado anterior. Para esta subdivisión más fina, el resultado todavía es más cercano al valor real, como se puede apreciar.
Ejemplo 2
Resolver numéricamente la integral cuyo
valor exacto se proporciona a continuación, empleando el método del rectángulo
con n= 10. Comparar el resultado obtenido con el valor exacto.
Solución
Primero se calcula el valor del paso h, con
a=1, b=2 y n=10:
El paso se introduce en la tabla de Excel similar a la que se elaboró en el ejercicio anterior, obviamente cambiando la función que
se va a evaluar en cada punto medio por esta otra:
El valor absoluto de la diferencia entre
el valor que se toma como verdadero (dado en el enunciado), y el resultado
obtenido mediante la subdivisión en n=10 rectángulos es:
¿Consideramos precisa la cifra I=1.09824?
Depende de la exactitud que se quiera. En principio podemos decir que el valor obtenido
se aproxima bastante al real y, en todo caso, si queremos que se acerque aún
más, se puede aumentar el valor de n.
Para el método del rectángulo, normalmente el error se obtiene comparando el valor obtenido mediante este método con el que resulte de algún otro procedimiento que se considere más preciso, como el método de Simpson, del cual se hablará en otra entrada futura.
Demás está decir que este procedimiento produce buenos resultados cuando se aplica a funciones cuya gráfica sea una curva suave y continua en el intervalo seleccionado, pero no tanto cuando la función cuya integral se quiere calcular oscila muy rápidamente en el intervalo seleccionado, crece o decrece muy rápidamente o tiene discontinuidades. En estos casos es necesario emplear métodos más sofisticados para aproximar el área.
Por F. Zapata.
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