4 formas de resolver una ecuación de segundo grado

Por Fanny Zapata 

Una ecuación de segundo grado tiene la forma:

ax² + bx + c = 0

Donde a≠0 y a, b y c son números reales.

La ecuación puede tener dos soluciones como máximo o una o ninguna. El valor de las soluciones corresponde a la intersección de la parábola y = ax² + bx + c con  el eje horizontal. Una parábola siempre tiene intersección con el eje vertical, la cual es y = c, pero puede no tener ninguna con el eje horizontal, o solo una o bien dos.

Figura 1.- Dos soluciones, en azul, una solución en marrón y ninguna solución en naranja. Fuente: Wikimedia Commons.

1 forma: mediante la fórmula resolvente

La solución de la ecuación de segundo grado, si existe, se obtiene a partir de la fórmula resolvente, conocida desde la época de los antiguos matemáticos babilonios (siglos XXI y XXII antes de Cristo):

Del signo de la cantidad sub-radical, llamada discriminante Δ,  depende si hay o no solución y cuántas:

Dos soluciones x₁ y x₂

b² – 4ac >0

Una solución

b² – 4ac = 0

Que inevitablemente corresponde al vértice de la parábola

Sin solución real

b² – 4ac < 0

Ejemplo resuelto 1

Resolver la ecuación:

x² + 5x - 6 = 0

Solución

-Identifica los valores de a, b y c:

a = 1, b = 5, c = -6

-Sustitúyelos en la fórmula resolvente y realiza las operaciones:

-Desglosa las soluciones:

2 forma: factorizando

Si la ecuación corresponde a un trinomio que se puede factorizar rápidamente, esta es una forma rápida de dar con la solución. Veamos:

Ejemplo resuelto 2

Resolver la ecuación:

x² - 7x +10 = 0

Solución

-Escribir la ecuación en la forma (x – a).(x- b). La selección de los signos es como sigue: en el primer paréntesis se coloca el primer signo de la ecuación (leída de izquierda a derecha) y en el segundo paréntesis el producto de los dos signos de la ecuación.

-Ahora hay que buscar por tanteo, es decir, probando, dos números a y b tales que su suma  (ya que ambos signos resultaron iguales, si no es así entonces es la resta) sea 7 y su producto sea 10.

-Estos números son 5 y 2, ya que 5+2 = 7 y 5 x 2 = 10.

-Los números se sustituyen en los paréntesis. Si los signos son iguales no importa el orden, pero si los signos son diferentes, el mayor de los números va en el primer paréntesis. Queda así:

(x – 5) . (x- 2) = 0

-Y ya tenemos nuestras dos soluciones: x₁ = 5 y x₂ = 2.

Ejemplo resuelto 3

Resolver la ecuación:

x² - 15x -100 = 0

Solución

-Factoriza (x – a).(x+b)= 0

Nota que el primer signo de izquierda a derecha es (-) y el producto de los dos signos es: (-). (-) = (+).

-Tantea dos números tales que multiplicados den 100 y restados (porque los signos de la factorización son diferentes) den 15. Estos números son: 20 y 5, ya que 20 x 5 = 100 y 20 – 5 = 15.

-El mayor de los números va en el primer paréntesis:

(x – 20).(x+5)= 0

-Ahora establece las soluciones:

x₁ = 20

x₂ = -5

Observa que la segunda solución tiene que ser negativa, ya que queremos que el factor (x+5) sea igual a 0, la única forma de lograrlo es que x valga -5.

3 forma: haciendo la gráfica

Esta forma de encontrar la solución requiere construir la gráfica. A mano en papel milimetrado puede ser laborioso, pero con cualquier software online graficador es muy sencillo. Una vez se tiene la gráfica simplemente se miran las intersecciones con el eje horizontal si las hay. Estas son las soluciones de la ecuación.

Ejemplo resuelto 4

Resolver en forma gráfica la ecuación:

x² + 5x - 6 = 0

Solución

La siguiente gráfica se construyó a través de Wolfram Alpha, pero también puede utilizarse Geogebra, que viene en español u otro graficador online. Las soluciones de la ecuación de segundo grado o raíces del polinomio cuadrático son los puntos marcados en rojo, los cuales coinciden con la solución dada más arriba.

Figura 2. Solución de una ecuación cuadrática a través de Wolfram Alpha.

4 forma: a través de la calculadora

Muchos modelos de calculadoras científicas resuelven ecuaciones. Para acceder al modo de resolución de ecuaciones presiona la tecla MODE hasta en que en pantalla se muestre la opción EQN, presiona 1.

Figura 3. Modo ecuación en la calculadora científica. Fuente: F. Zapata.

Seguidamente se pregunta el número de incógnitas. Como es una sola, haz clic en la tecla REPLAY con la flecha hacia la derecha, para que el menú continúe.

Figura 4. Ingresa el número de in cógnitas presionando la tecla REPLAY hacia la derecha. fuente: F. Zapata.

Ahora ingresa el grado de la ecuación, que es 2:

Figura 5. Indica que la ecuación es de segundo grado presionando la opción 2. Fuente: F. Zapata.

Ingresa los valores de a, b y c en ese orden, presionando la tecla =.

Figura 6. Ingresa en orden los coeficientes numéricos. Fuente: F. Zapata

Vuelves a presionar la tecla = y  obtienes las dos soluciones x₁ y x₂,  si las hay.