Por F. Zapata
El plano inclinado es una máquina simple que ayuda a elevar cuerpos hasta cierta altura sin necesidad de realizar tanto esfuerzo. Las rampas son ejemplos de superficies inclinadas respecto al suelo que utilizamos cotidianamente para facilitar el trabajo.
¿Cómo funciona un plano inclinado? Muy fácil, la superficie se encarga de brindar su apoyo para compensar una buena parte del peso, el resto se tiene que compensar aplicando una fuerza adicional si queremos subir el objeto.
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| Figura 1. Un ejemplo de uso del plano inclinado es esta rampa para uso de personas con movilidad reducida. De esta manera se facilita que las personas en silla de ruedas suban al transporte. Fuente: Wikimedia Commons. |
Primero veamos un concepto muy útil en dinámica: el diagrama de cuerpo libre de un objeto. Luego averiguaremos lo que le pasa a un cuerpo sobre un plano inclinado en presencia de varias fuerzas.
El plano inclinado
Ejemplo resuelto 1
Subiendo por el plano
inclinado con velocidad constante sin rozamiento
Ejemplo resuelto 2
Diagrama de cuerpo libre de un objeto
Con la finalidad de analizar las fuerzas que actúan sobre un
determinado cuerpo, se hace un esquema en el que es representado mediante un
punto o un bloquecito rectangular. Y sobre esa representación se dibujan,
mediante flechas, única y exclusivamente las fuerzas que actúan sobre él.
No es preciso que la representación del objeto sea muy fiel,
usualmente una caja rectangular o una esfera son más que suficientes para casi cualquier cosa.
La longitud de las flechas es proporcional a la intensidad
de las fuerzas. Y su dirección y sentido deben ser el que corresponda a cada
fuerza.
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| Figura 2. Sujetamos un libro con la mano para contrarrestar el peso (figura izquierda) o bien lo dejamos sobre una mesa, para que se encargue en lugar de nosotros. |
Es muy importante dibujar en el diagrama todas las fuerzas
que recibe el cuerpo y tener presente que no se dibujan allí las fuerzas que el
cuerpo ejerce sobre otros, por eso al diagrama también se lo conoce como diagrama de cuerpo aislado.
En la figura 1 se muestran dos formas de sujetar un libro
para que no caiga al suelo. Una consiste en sujetarlo con la mano y la otra en
ponerlo sobre una mesa. Para que el libro permanezca en reposo, suspendido o
apoyado, tanto la mano como la mesa ejercen una fuerza que contrarresta al
peso, denotado como FW.
El diagrama de cuerpo libre en ambos casos consiste en una
fuerza dirigida verticalmente hacia arriba, llamada F para la mano y FN
para la mesa. Esta última es la llamada fuerza normal. Y la otra fuerza siempre
presente es el peso FW
dirigido verticalmente hacia abajo.
La segunda ley de Newton, aplicada al libro que sujeta la
persona para que se encuentre en equilibrio es:
F + FW = 0
Nótese que se trata de una suma de vectores y hemos
utilizado negritas, ahora bien,
ambas fuerzas son verticales, y para que el libro permanezca en reposo, ambas
fuerzas deben tener idéntica magnitud y dirección, pero sentidos contrarios, lo
cual escribimos así:
F – FW = 0
Ya no se usan las negritas, pues ahora se trata de
magnitudes. Hemos asignado el signo positivo a las fuerzas que se dirigen
verticalmente hacia arriba, y signo negativo a las que se dirigen hacia abajo. Ahora
podemos afirmar que:
F = FW
Se puede proceder de igual forma cuando el libro está en
reposo apoyado sobre la mesa.
FN + FW= 0
Y en términos de las componentes quedaría:
FN - FW= 0
FN = FW = 0
¿Qué sucede si hay fuerzas aplicadas en diversas
direcciones? Pues se aplica el principio de superposición como lo hemos hecho
acá, y dibujamos un sistema de coordenadas cartesianas para ayudar a descomponer
las fuerzas en sus componentes rectangulares.
El plano inclinado
Vamos a ver un objeto colocado sobre el plano inclinado a
modo de ejemplo. El plano inclinado es una máquina simple que facilita la tarea
de elevar cosas pesadas.
El plano inclinado presta un apoyo para los objetos, el cual
compensa en parte el peso de los mismos, por lo tanto hay que hacer menos
fuerza para elevarlos que si se quieren subir directamente, de forma vertical.
Plano inclinado sin rozamiento
Acá hemos puesto un bloque de masa m sobre el plano. Si no consideramos la existencia de roce, el
bloque va a deslizar sobre el plano en la dirección indicada:
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| Figura 3. En ausencia de rozamientos el bloque resbala por el plano inclinado. Fuente: F. Zapata. |
¿Cuánto vale la aceleración del bloque mientras resbala
sobre el plano? Evidentemente es menor que g = 9.8 m/s2, porque el
plano brinda un apoyo y no deja que el bloque caiga libremente. Dependerá del ángulo
de inclinación θ.
Vamos a hacer el diagrama de cuerpo libre, lo primero es
escoger un sistema de coordenadas x e y, sobre el cual se encuentre la mayor
cantidad de fuerzas, así descomponemos lo menos posible.
El sistema de referencia más indicado es el que tiene al eje
x paralelo al borde del plano. Solamente hay dos fuerzas actuando sobre el
bloque: su propio peso y el apoyo del plano o fuerza normal:
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| Figura 4.- Diagrama de cuerpo libre para el bloque sobre el plano inclinado. solamente hay dos fuerzas: la normal y el peso. Fuente: F. Zapata. |
La fuerza normal N
cae directamente sobre el eje y positivo, pero el peso W está inclinado respecto a los ejes coordenados. Hay que
descomponerlo en dos componentes: Wx y Wy. El lector
tiene que estar convencido de que el ángulo de inclinación del plano inclinado θ
es el mismo que el peso W forma con
el eje vertical.
Las componentes rectangulares del peso son:
Wx = W.sen θ
Wy = W. cos θ
Y la magnitud W del peso es W = m.g, por lo tanto:
Wx = mg.sen θ
Wy = mg. cos θ
Ya que no hay rozamientos ni ninguna otra fuerza actuando
sobre el bloque, podemos aplicar la segunda ley de Newton:
N + W = m.a
Esta vez hay aceleración, que al igual que la fuerza es un
vector. Y esta aceleración está dirigida en la dirección del movimiento, que ya
hemos dicho es el eje x. Le vamos a dar signo positivo a esta dirección, por lo
tanto:
∑ Fx = Wx = m.ax
La fuerza que proporciona la aceleración con la cual el bloque resbala es Wx. Por
otra parte, sobre el eje y no hay movimiento, entonces:
∑ Fy = N – Wy = 0
La primera ecuación nos da la respuesta a la pregunta
inicial acerca de la aceleración con la que baja el bloque por encima del
plano:
mg . sen θ = m.ax
ax
= g.sen θ
Como sen θ < 1, el valor de ax es menor que g. Y un detalle importante: el
valor de la aceleración no depende de la masa del bloque, sino únicamente del ángulo
de inclinación del plano inclinado.
Plano inclinado con rozamiento
El diagrama que considera el rozamiento se muestra en la
siguiente figura. Por el momento se consideran solamente dos tipos de roce: el
roce cinético que surge cuando el objeto se mueve sobre una superficie y el
roce estático, que aparece cuando el objeto está en reposo sobre el plano.
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| Figura 5.- El objeto que resbala sobre el plano inclinado con rozamiento, este siempre se opone al movimiento. Fuente: F. Zapata. |
Como el bloque desliza cuesta abajo, el roce es cinético y
siempre está dirigido en sentido contrario al movimiento. Si el movimiento es
cuesta abajo, el roce va cuesta arriba. Pero si estuviéramos empujando al
bloque para que subiera, entonces el
roce se opondría y apuntaría en dirección contraria.
La fuerza de roce es tangencial –paralela- a la superficie
que la ejerce –la del plano inclinado-. ¿Cuáles serían los cambios en las
ecuaciones de la segunda ley de Newton con respecto al caso sin roce que vimos
antes? Evidentemente hay que añadir el efecto del roce a la sumatoria de
fuerzas sobre el eje x.
Se prevé que la aceleración del cuerpo sea menor, ya que el
roce tiene acción contraria sobre el movimiento:
∑ Fx = Wx - Ffr = m.ax
La ecuación para las fuerzas sobre el eje y permanece
inalterada:
∑ Fy = N – Wy = 0
Cálculo del roce cinético
Experimentalmente se ha determinado que la magnitud de la
fuerza de rozamiento cinético es proporcional a la normal. La constante de
proporcionalidad se llama coeficiente de
roce cinético y se denota como μk.
Los valores de μk están tabulados para varias
superficies, por ejemplo madera en contacto con madera y así. Los estudios de
los efectos del rozamiento datan del siglo XVII cuando el físico francés
Guillaume Amontons comprobó el rozamiento entre dos superficies secas en
movimiento, pero desde mucho antes la gente utilizaba el roce entre dos maderos
para encender fuego.
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| Figura 6.- La humanidad conoce el rozamiento desde tiempos inmemoriables y lo utiliza para hacer fuego con dos maderos. Fuente: Wikimedia Commons. |
El científico francés encontró que el rozamiento ejerce
oposición al movimiento y su magnitud es proporcional a la magnitud de la
normal.
De manera que podemos afirmar:
Ffr = μk.N
Y como la magnitud de la normal la determinamos fácilmente
mediante N – Wy = 0, se concluye que:
Ffr = μk.Wy = μk .
mg cos θ
Ahora podemos
encontrar la magnitud de la aceleración con la cual resbala el bloque cuesta
abajo sobre el plano inclinado:
Wx -
Ffr = m.ax
mg sen θ - μk . mg cos θ = m.ax
Como la masa es factor común en todos los términos, nos queda que:
ax
= g sen θ - μk . g cos θ
Factorizando g:
ax
= (sen θ - μk cos θ).g
Y tal como
estaba previsto, esta aceleración es menor que g.sen θ.
Ejemplo resuelto 1
Encontrar la
aceleración con que resbala un bloque de masa m = 3 kg por encima de un plano inclinado 37º si entre el bloque y el
plano el coeficiente de roce cinético μk
= 0.25.
Solución
Sustituimos los valores en la ecuación que acabamos de
encontrar:
ax
= (sen θ - μk cos θ).g
ax = ( sen37º - 0.25 x cos 37º) . 9.8 m/s2
= 3.9 m/s2.
Subiendo por el plano
inclinado con velocidad constante sin rozamiento
Para
hacer que un cuerpo suba por un plano
inclinado hay que aplicar una fuerza F.
Puede ser empujando al objeto con la mano, por ejemplo.
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| Figura 7. Un cuerpo que sube por el plano inclinado requiere de una fuerza aplicada. Fuente: F. Zapata. |
Supongamos que esta fuerza tiene magnitud constante. No
consideraremos la presencia de roce para este primer ejemplo, las ecuaciones de
la segunda ley de Newton son:
∑ Fx = F - Wx = 0
∑ Fy = N – Wy = 0
Nótese que ahora la dirección del movimiento es cuesta
arriba, y como hemos decidido asignar signo + a la dirección del movimiento,
entonces ahora la componente horizontal del peso Wx tiene signo
negativo.
La fuerza F se
encarga de contrarrestar a la componente horizontal del peso. De la componente
vertical se encarga la superficie del plano inclinado. Note que como el bloque
sube con velocidad constante, eso significa que la aceleración es nula, por lo
tanto igualamos la fuerza neta a 0 tanto en el eje x como en el eje y.
La magnitud necesaria de la fuerza para hacer que el bloque
suba por el plano inclinado a velocidad constante es, en ausencia de roce:
F = Wx = mg sen θ
¿Puede nuestro bloque subir aceleradamente? Claro que sí,
aplicando una fuerza F cuya magnitud
sea mayor a mg sen θ.
Ejemplo resuelto 2
¿Cuál debe ser la magnitud de la fuerza F aplicada paralelamente al plano inclinado 37º para que un bloque
de masa m = 5 kg suba con velocidad constante? ¿Y cuál debe ser la magnitud para
que suba con aceleración de 0.58 m/s2?
Solución
Para que suba con velocidad constante basta que:
F = mg sen θ
= 5 Kg x 9.8 m/s2 . sen 37º = 29.5 N
Y para que suba aceleradamente primero debemos plantear:
F – Wx = m.ax
Y luego despejar el valor de F. Esperamos que este sea mayor
que en el caso anterior:
F = Wx
+ m.ax = mg sen θ + m.ax = m (g sen θ + ax) =
5 kg. (9.8 x sen 37º + 0.58) m/s2 = 32.4 N.
En efecto,
para que suba con aceleración hay que aplicar una fuerza de mayor intensidad. ¿Qué
sucedería en presencia de roce?
En presencia
de roce podemos hacer subir al bloque con velocidad constante o también
aceleradamente, si aplicamos una fuerza F
de magnitud conveniente.
Referencias
- Figueroa, D. (2005). Serie: Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 2. Dinámica. Editado por Douglas Figueroa (USB).
- Giambattista, A. 2010. Physics. 2nd. Ed. McGraw Hill.
- Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th. Ed Prentice Hall.
- Hewitt, Paul. 2012. Conceptual Physical Science. 5th. Ed. Pearson.
- Kirkpatrick, L. 2007. Física: Una mirada al mundo. 6ta Edición abreviada. Cengage Learning.
- Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
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