La viscosidad es la resistencia que presenta un fluido ante el movimiento. Los instrumentos que miden la viscosidad se denominan viscosímetros o viscómetros y se fundamentan en varios principios de Física elemental.
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| Viscosímetro de Mooney. Fuente: Wikimedia commons. |
Viscosímetro de tambor giratorio
Por ejemplo
los viscosímetros de rotación o de tambor giratorio hacen uso del movimiento de
rotación, ya que para hacer girar una muestra es necesario aplicar una fuerza
que debe vencer la viscosidad del líquido.
Para medir
la viscosidad la muestra se coloca en un tambor que rota con velocidad angular
constante ω.
Dentro hay otro tambor que se mantiene estacionario, de esta
manera la capa de fluido que está en contacto con este tambor se mantiene en
reposo, mientras que la capa externa se mueve con la velocidad del tambor que
gira, la cual es conocida. Esa es la forma de establecer un gradiente de
velocidades necesario para aplicar la ley de Newton de la viscosidad.
τ = μ (Δv/ Δr)
La fuerza
de arrastre creada por el fluido en movimiento produce un torque o momento
sobre la superficie del tambor estacionario, el cual se mide con un
torquímetro, dando así una medida de la magnitud del esfuerzo de corte τ.
Viscosímetro de caída de bola
Otra forma
de medir la viscosidad de un fluido es dejando caer un objeto en su interior.
Sucede que la viscosidad del fluido va frenando al objeto ya que se opone a la
fuerza de gravedad, de este modo el objeto alcanza una velocidad límite
constante, conocida como velocidad
terminal, que es con la que finalmente termina por caer en el interior del
líquido.
La idea se muestra en la siguiente animación:
La idea se muestra en la siguiente animación:
Vamos a suponer un tubo lleno de una muestra de aceite u otro fluido, cuya viscosidad se quiere medir. Se deja caer una esfera de diámetro D conocido y masa m en su interior. El diagrama de cuerpo libre de la esfera se muestra a continuación:
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| Figura 1. Una esfera en caída libre en el interior de un fluido con viscosidad. Modificado de Serway, R. Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 1. |
Las fuerzas
que actúan sobre la esfera son: el peso mg,
el empuje del fluido B y el
rozamiento R. Como la esfera cae con
velocidad constante no tiene aceleración y en consecuencia la sumatoria de
fuerzas verticales es nula:
B + R – mg = 0
Si la
velocidad de la esfera es pequeña, el rozamiento es proporcional a la
velocidad:
R = b.v
Se puede
demostrar que la constante de proporcionalidad b depende de la viscosidad dinámica
del fluido μ y el diámetro de la esfera D como:
b = 3πμD
Por su
parte, de acuerdo al principio de Arquímedes, la magnitud del empuje del fluido es igual al peso de la
cantidad de fluido desplazado:
B = ρfluido V.g
Pero el
volumen desplazado es el mismo de la esfera, pues esta se encuentra totalmente
sumergida:
B = ρfluido V.g = B = ρfluido
g. (4/3) π (D3/ 8) = ρfluido g. (1/6) π D3
Juntando
todo esto:
ρfluido
g. (1/6) π D3 + 3πμDv – mg = 0
Y la
viscosidad queda:
La masa de
la esfera es el producto de su densidad por su volumen:
m = ρesfera (4/3)π (D3/8) = ρesfera (1/6)πD3
m = ρesfera (4/3)π (D3/8) = ρesfera (1/6)πD3
El producto de la densidad de una sustancia por el valor de g es igual al peso específico γ. Factorizando y simplificando la ecuación anterior queda:
Como la velocidad es constante, se determina fácilmente midiendo cierta distancia d en el tubo y cronometrando el tiempo t que la esfera tarda en recorrerla:
v = d/t
Ejercicio resuelto
Un viscosímetro de tambor consta de dos cilindros concéntricos de 40 cm de largo cada uno. El diámetro externo del cilindro interior es de 12 cm y ambos cilindros están separados una distancia de 0.15 cm. El cilindro exterior gira a razón de 300 rpm y el par de torsión (momento) medido es 1.8 N.m. Calcular la viscosidad de fluido.
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| Figura 2. Viscosímetro de tambor. Fuente: Cimbala. Mecánica de Fluidos: Fundamentos y Aplicaciones. |
Solución
Supondremos
que el perfil de velocidades es lineal, ya que los cilindros son lo bastante
largos como para despreciar los efectos de los extremos (allí el perfil no es
lineal), tampoco se considerarán los efectos de la curvatura de los cilindros,
ya que el espesor de la capa de fluido es menor que el radio del cilindro
interior.
En
tal caso, la magnitud de la fuerza cortante, a partir del momento M = F.R es:
F =
1.8 N.m / 0.15 x 10-2 m = 1200 N.
Ahora
necesitamos la velocidad lineal, de Física elemental sabemos que la velocidad
lineal v está relacionada con la velocidad angular ω a través del radio R:
v = ω.R
El
enunciado dice que la velocidad angular (o frecuencia angular) es de 300 rpm
(revoluciones por minuto). Antes de trabajar con la velocidad angular es
necesario expresarla en unidades del Sistema Internacional.
Se
sabe que 1 revolución = 1 vuelta = 2π radianes.
300
rpm = 300 x 2π /60 segundos = 10 π radianes / s
Por
lo tanto la velocidad lineal de la capa de fluido en contacto con la superficie
móvil es:
v = ω.R
Donde
R = radio del cilindro estacionario + espesor de la capa de fluido
El diámetro
del cilindro estacionario es 12 cm, por lo tanto el radio es 6 cm:
R = 6
+ 0.15 cm = 6.15 cm.
v = 10 π radianes /s x 6.15 x 10 -2 m = 0.615
π m/s
Como
el fluido comenzó a moverse desde el reposo, el cambio de la velocidad es:
Δv = velocidad final – velocidad inicial
= 0.615 π m/s – 0 = 0.615 π m/s
Por
su parte Δr = 0.15 cm = 0.15 x10-2 m
Entonces
el gradiente de velocidad Δv/ Δr es:
Δv/ Δr = 0.615 π m/s / 0.15 x10-2 m = 410
π s-1
Ahora
nos vamos a la ley de Newton de la viscosidad:
τ = μ (Δv/ Δr)
F = μ A (Δv/ Δr)
Necesitamos
el área, la cual es A = 2πR.L. Sustituyendo valores:
A = 2πR.L
= 2π x (6.15 x 10-2 m) x (40 x 10-2 m) = 0.0492 π m2
Finalmente
despejamos la viscosidad dinámica y sustituimos valores:
Ejercicios
propuestos de viscosidad
1.- Se
tiene agua líquida moviéndose en el interior de dos superficies. La superficie
inferior está en reposo, mientras que la superior se mueve a razón de 0,250
m/s. Ambas están separadas una distancia de 50 cm. Calcular la magnitud del
esfuerzo necesario para mantener el movimiento de la superficie superior,
suponiendo que el agua es un fluido newtoniano cuya viscosidad a 20 ºc es
0.001002 Pa.s.
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| Figura para el ejercicio propuesto 1. |
2.- Se llena el espacio entre dos placas paralelas horizontales separadas 5 mm con aceite cuya viscosidad dinámica es 2.5 kg/m.s. La placa superior se mueve a razón de 1.75 m/s mientras que la inferior permanece estacionaria. ¿Cuál es el la magnitud del esfuerzo?
3.- Calcular la velocidad terminal de una esfera de acero de diámetro 1 mm y masa 4 g en los siguientes fluidos:
a) Agua a 25 ºC, viscosidad 0.89 cP
b) Glicerina a 25 ºC, viscosidad 954 cP.
4.- Una placa plana se desplaza a 1.8 m/s sobre un plano inclinado cubierto de una película de aceite de peso específico 800 kg/m3. El peso específico de la placa es 1500 kg/m3. Calcular la viscosidad dinámica y la viscosidad cinemática del aceite.
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| Figura para el ejercicio propuesto 4 |
5.- Un
cuerpo cuyo peso es 120 libra-fuerza
tiene área superficial de 2 pies2. Se desliza cuesta abajo a razón
de 3 pies/s, por un plano inclinado 30º cubierto de aceite lubricante cuya
viscosidad es 0.002 lb.s/pie2. ¿Cuál es el espesor de la capa de
aceite lubricante?
6.- Una película
de líquido se hace descender por una superficie inclinada. El perfil no es
lineal, sino que sigue la expresión:
&space;=&space;U\left&space;[\frac{2y}{Y}-\left&space;(\frac{y}{Y}&space;\right&space;)^{2}&space;\right&space;] "v(y) = U\left [\frac{2y}{Y}-\left (\frac{y}{Y} \right )^{2} \right ]")
Con U constante y Y es el espesor de la capa. Se pide determinar el esfuerzo cortante en los siguientes puntos:
Con U constante y Y es el espesor de la capa. Se pide determinar el esfuerzo cortante en los siguientes puntos:
- y = 0 (interfaz fluido-plano inclinado)
- y = Y/2
- y = Y (la superficie libre del fluido)
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| Figura para el problema 6.
7.- Un
viscosímetro de caída de bola se emplea para medir la viscosidad de un aceite
comestible, cuya densidad es de 923 kg/m3. El tubo del viscosímetro
tiene 10 cm de largo y el diámetro de la esfera es de 0.68 mm, hecha de un
material cuya densidad es 2420 kg/m3. La bola tarda 44.5 segundos en
recorrer la longitud del tubo. ¿Cuál es la viscosidad del aceite?
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