El
teorema de Torricelli afirma que la velocidad de un líquido
fluyendo a través un orificio en la pared de un recipiente, es la misma que
adquiere un objeto en caída libre cuando se libera desde una altura igual a la
que hay desde la superficie libre del líquido hasta el orificio.
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| Figura 1. El teorema de Torricelli afirma que cuanto más profundo esté el orificio de desague, más velocidad alcanza el chorro de salida. |
Recordemos que esta velocidad es de magnitud v igual a:
Donde g es el valor de la aceleración de la gravedad y
h es la altura medida desde la superficie libre hasta el orificio. Cuanto más
bajo esté el orificio de salida, más poderoso es el chorro de líquido, como se
puede ver en la figura 1. Allí hay un tonel lleno de agua, con tres perforaciones a distintas alturas. El chorro que está más cercano al fondo del recipiente es el que tiene más velocidad.
A la velocidad con la que sale el chorro de líquido
se la conoce como velocidad de derrame.
Podemos probar fácilmente la fórmula anterior mediante
la ecuación de Bernoulli, ya que esta situación es un caso particular de esta.
Para ello debemos tomar en cuenta las siguientes consideraciones:
-El fluido carece rozamientos viscosos.
-Su densidad permanece constante.
-Tampoco se considera rozamiento del aire sobre chorro
que cae.
-El orificio tiene un diámetro mucho menor que el del
tanque.
-La velocidad del fluido en un punto de la superficie
libre es mucho menor que la velocidad de salida por el orificio. Esto es, el
nivel del líquido baja lentamente en el tanque, por lo que el fluido allí está,
esencialmente, en reposo.
Demostración
del teorema de Torricelli
En
la figura se tiene un fluido de densidad ρ en un recipiente cuyo diámetro es D1.
A una profundidad h hay un orificio de
diámetro D2, a través del cual escapa el fluido con velocidad v2
= v.
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| Figura 2. Esquema del tanque con agujero para vaciado a una profundidad h. |
Como
ambos puntos están a presión atmosférica: Patm = P1 = P2,
la ecuación se simplifica a:
Si
suponemos que el fluido está en reposo en el punto 1, podemos despejar v2:
Puesto
que y1 - y2 = h queda:
Veamos ahora algunos ejercicios resueltos mediante la aplicación del teorema de torricelli.
Ejercicio resuelto 1
Un tanque dispone de un pequeño tubo de salida para desagüe
de diámetro 1cm, ubicado a 3m por debajo de la superficie del agua. Calcular:
a) La
velocidad de salida del agua.
b) El caudal de salida de agua.
Solución a
Solución b
El
caudal viene dado por Q =A.v, donde A es el área de la sección transversal del
tubo:
A = π.D2 /4
D = 1
cm = 1x10-2 m
Por
lo tanto el área A vale:
A =
π. (1x10-2 m)2 /4 =
0.000079 m2
Y el
caudal es:
Q =
0.000079
m2 . 7.7 m/s2 = 0.0006 m3/s
Ejercicio resuelto 2
Calcular
a qué altura está la superficie libre del agua en un recipiente, sabiendo que la
base del recipiente tiene una perforación por la cual el agua sale a 12 m/s.
Solución
Despejamos
h del teorema de Torricelli, elevando al cuadrado ambos términos para eliminar
la raíz:
v2
= 2gh
Por
lo tanto:
h = v2
/2g = (12 m/s)2 / (2x 9.8 m/s2) = 7.3 m
Ejercicio resuelto 3
La figura muestra una tubería descargando
agua a razón de 1.5 litros /s en el tanque A, cuyo diámetro es 120
cm. Este a su vez descarga a través mediante una llave de paso con un diámetro
de ½ pulgada. Calcular la altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se
estabiliza.
Solución
La altura
del fluido en el tanque A se estabiliza cuando la entrada de agua es igual a la
salida. La ecuación de continuidad entre los puntos 1 y 2, marcados en rojo en
la figura, señala que:
Q1
= Q2 = Q
Donde
Q es el caudal, que se calcula mediante la fórmula:
Q =
A.v
Con
A = área de la sección transversal del tubo o recipiente. Por lo tanto la
velocidad de salida v2 es:
v2
= Q / A2
Sabiendo
que 1 m3 tiene 1000 litros:
Q = (1.5 litros /s) x (1 /1000) m3/litro =
0.0015 m3 /s
El área de sección transversal del tubo de descarga es:
A 2 = π.D22 /4
El diámetro D2 = ½ pulgada = 1.27 x 10-2 m, luego:
A = π. (1.27 x 10-2 m) 2 /4 = 0.000127 m2
Y la velocidad de salida es:
v2
= Q / A2 = 0.0015 m3 /s / 0.000127 m2 = 11.81
m/s
A través del
teorema de Torricelli calculamos la altura a la que está el orificio respecto a
la superficie libre del líquido:
Hay que elevar al cuadrado a ambas lados de la igualdad para eliminar la raíz y despejar h:
h =
v22 /2g = (11.81 m/s)2 / (2 x 9.8 m/s2) = 7.12
m
Como el orificio está en la base del tanque y hemos dicho que h se mide
respecto a la superficie libre del agua, esta debe ser la misma altura del agua
en el recipiente grande.
Por F. Zapata
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Muy aclaratorios... buen trabajo y aporte
ResponderEliminarMuchas gracias por la explicación.
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