Todo Ciencia: Fluidos en movimiento: la ecuación de Bernoulli

Los principios de la Física que se han aplicado exitosamente para una partícula y para un sólido rígido, también pueden aplicarse en el caso de un fluido ideal en movimiento. La conservación de la energía es uno que da excelentes resultados, como vamos a ver a continuación.

Supongamos que tenemos un tubo con secciones transversales diferentes y a diferentes alturas, para considerar los efectos de la gravedad. ¿Podemos utilizar el principio de la conservación de la energía mecánica? Recordemos que para hacerlo, las fuerzas que actúan sobre el objeto deben ser conservativas.

Figura 1. La ecuación de Bernoulli se pone de manifiesto en la sustentación que permite el vuelo. Fuente: Pixabay.

La fuerza de gravedad es conservativa y ya que el fluido es no viscoso, no existen rozamientos, que son fuerzas no conservativas.

Así que imaginemos a los bomberos conectando un extremo de la manguera contra incendios en una toma de agua y apuntando el otro extremo hacia la ventana del segundo piso de un edificio para apagar un fuego. Vamos a encontrar una relación entre la presión P, la rapidez v y la altura z entre dos puntos de la manguera.

Ecuación de Bernoulli

Consideremos una porción de fluido viajando de izquierda a derecha dentro de la manguera de diámetro y altura variables, a la cual se aplican las ecuaciones de trabajo y energía.

Figura 2. Una porción de fluido ideal viaja en una tubería que tiene diámetros y alturas diferentes. Fuente: Wolfson, R. Fundamentos de Física.

Cuando la porción de fluido se encuentra en el punto 1 del diagrama, tiene asociados los valores de presión, altura y velocidad con subíndice 1. Y a la porción de fluido en el punto 2 se le asocian los valores con subíndice 2.

La ecuación de continuidad nos asegura que la porción de fluido en el punto 1 (rojo) es exactamente la misma que en el punto 2 (azul), puesto que no hay fugas ni entradas extra de fluido y en el tubo, de tal manera que su variación de energía mecánica ΔE se debe al trabajo que hacen las fuerzas externas W_ext.

Por lo tanto:

W_ext = ΔE

La energía mecánica consta a su vez de la energía asociada al movimiento, que es la energía cinética K, más la energía potencial gravitatoria U, debida a la diferencia de altura. Por lo tanto:

W_ext = ΔE = ΔK + ΔU

Vamos a calcular cada uno de los términos por separado primero, luego los pondremos juntos para encontrar la expresión buscada.

Cálculo de W_ext

Sobre la porción de fluido en un punto 1 de la parte estrecha del tubo, actúa la fuerza de magnitud F₁= P₁.A₁ dirigida de izquierda a derecha. A este sentido se le asigna signo +.

En un punto P₂ de la parte más ancha del tubo actúa una fuerza en sentido contrario a la anterior. Se trata de F₂ = P₂. A₂, en sentido derecha-izquierda.

Estas fuerzas externas se encargan de hacer el trabajo W_ext:

W_ext= P₁.A₁.Δx₁– P₂.A₂.Δx₂

El producto A. Δx es el volumen de la porción de fluido, al cual llamaremos ΔV y por continuidad:

ΔV = ΔV₁ = ΔV₂

Entonces:

W_ext= P₁. ΔV – P₂. ΔV

Cálculo de ΔK

ΔK es la variación en la energía cinética K. A su vez la energía cinética de un objeto de masa Δm que lleva rapidez v está dada por:

K = ½ Δm.v²

Con:

Δm = ρ . ΔV

En esta ecuación recordemos que ρ es la densidad constante, ya que el fluido es incompresible, y ΔV es el pequeño volumen ocupado por Δm. La variación en la energía cinética para los puntos 1 y 2 es:

ΔK = K₂ – K₁ = ½ (ρ . ΔV).v₂ ² - ½ (ρ . ΔV).v₁ ²

Cálculo de ΔU

La energía potencial U de un objeto de masa Δm a cierta altura y viene dada por:

U= Δm.g.y

Donde g es el valor de la aceleración de la gravedad.

Aprovechando el resultado para Δm logrado en el apartado anterior:

U = (ρ. ΔV).g.y

De tal manera, la diferencia de energía potencial entre los niveles 1 y 2 es:

ΔU = (ρ. ΔV).g.y₂- (ρ. ΔV). g.y₁

Ecuación de la conservación de la energía

W_ext = ΔK + ΔU

P₁. ΔV – P₂. ΔV = ½ (ρ . ΔV).v₂ ² - ½ (ρ . ΔV).v₁ ² + (ρ. ΔV).g.y₂- (ρ. ΔV).g.y₁

Podemos simplificar ΔV, ya que se repite en todos los términos:

P₁– P₂ = ½ ρ .v₂ ² - ½ ρ.v₁ ² + ρ.g.y₂- ρ.g.y₁

Ahora pongamos todos los términos con subíndice 1 a un lado, y los que tienen subíndice 2 al otro:

P₁+ ½ ρ.v₁ ² + ρg.y₁= P₂ + ½ ρ.v₂ ² + ρg.y₂

Esta es la ecuación de Bernouilli, propuesta por Daniel Bernouilli en 1738. Dividiendo todos los términos entre el peso específico γ, relacionado con la densidad ρ mediante:

γ = ρ.g

La ecuación de Bernoulli queda expresada equivalentemente así:

Esta última forma de expresarla es muy usada en ingeniería por la comodidad de las unidades. Observando con atención, cada término tiene unidades de longitud, por eso cada uno recibe un nombre relacionado con este hecho: cabezas.

Tenemos entonces las cabezas:

-Cabeza de presión: P/γ.

-Cabeza de velocidad: v² /2g

-Cabeza de altura: y.

En unidades del Sistema Internacional, cada término viene en metros. En unidades anglosajonas se utilizan pies o pulgadas usualmente.

Queda claro que mediante la ecuación de Bernoulli relacionamos la presión, velocidad y altura del fluido en un punto P₁ con los respectivos valores en el punto P₂.

Observa que la suma de los tres términos es la misma para cualquier punto del fluido, por lo tanto podemos establecer que:

De esta manera, la ecuación de Bernoulli expresa la conservación de la energía para el movimiento de un fluido ideal.

Caso especial I: el fluido está en reposo

Los términos con velocidad se hacen 0 y queda:

Esta es otra forma de expresar la ecuación hidrostática:

ΔP = γΔy

Caso especial II: la tubería está al mismo nivel

Significa que y₁ = y₂ y por lo tanto la ecuación se reduce a:

Caso especial III: los puntos están a la misma presión

Si los puntos 1 y 2 están a la misma presión, la ecuación se simplifica a:

La ecuación de Bernoulli en la vida cotidiana

-Puedes realizar un experimento muy sencillo para visualizar la ecuación de Bernouilli. Necesitas dos latas de refresco vacías y 5 pajitas para sorber. Coloca las dos latas cerca una de la otra, sobre dos pajitas cada una y con la pajita restante sopla entre las latas.

Figura 3. Sorprendente: soplar aire mediante una pajilla entre las latas vacías de refresco no las separa. Fuente: Bauer, W. Física para ciencias e ingeniería.

Esperaríamos que las latas se separaran al soplar ¿cierto? Pero sorprendentemente las latas se juntan, porque al soplar aire, la velocidad del fluido es mayor en el espacio que hay entre ellas, por lo cual la presión disminuye allí. Entonces la presión por la parte externa de las latas, que es mayor, las obliga a juntarse.

-Los grandes camiones de 18 ruedas no deben acercarse mucho cuando viajan en carriles contiguos de una autopista, porque el efecto Bernoulli puede hacer que los remolques entren en contacto, tal como sucede con las latas de refresco del experimento anterior.

Figura 4.- Observa como los camiones se distancian cuando pasan uno al lado del otro. Los conductores saben que al aumentar la velocidad, la presión del aire entre ellos disminuye, por lo que la presión lateral tienede a acercarlos. Fuente: Pixabay.

-Algo parecido ocurre al sujetar dos hojas de papel cerca una de la otra y soplar entre ellas. La velocidad del flujo de aire aumenta, con lo cual la presión disminuye entre las hojas. Siendo mayor la presión en los alrededores, las hojas terminan por juntarse, en vez de separarse.

-La sustentación en los aviones se basa en la ecuación de Bernoulli: sobre el ala la velocidad del aire es mayor, por lo tanto la presión es menor. Mientras que debajo del ala la velocidad es menor, entonces la presión aumenta y con ella se origina la fuerza de sustentación.

Figura 5.- Animación que muestra la sustentación del ala del avión basada en la ecuación de Bernoulli. Fuente: Wikimedia Commons.

-Los aneurismas son deformaciones en las paredes arteriales que hacen que estas se ensanchen en algunas zonas. Como la velocidad de la sangre se reduce, la presión aumenta en esas regiones para compensar y mantener la igualdad. Esto puede exacerbar la deformación en la pared arterial, y si esta se debilita se produce la ruptura del aneurisma, con graves consecuencias.

Ejercicio resuelto

Fluye agua en la tubería que se muestra en la figura. Hallar la presión que marca el manómetro superior:

Dato : γ_agua = 9800 N/m³

Solución

Es importante destacar que al utilizar la ecuación de Bernoulli, debemos movernos en el mismo sentido que lo hace el flujo. Vamos a escoger el punto 1 en la parte ancha de la tubería, debajo del primer manómetro, y el punto 2 en la parte superior, debajo del segundo manómetro.

Acá tenemos la ecuación de Bernoulli, de la que debemos despejar P₂:

A continuación los datos que contiene la figura:

P₁ = 100 kPa = 100.000 Pa

v₁ = 4.00 m/s

y₁= 0 m

P₂ = ¿

v₂ = ¿

y₁= 1.50 m

Para despejar P₂ nos faltaría v₂, que podemos encontrar a través de la ecuación de continuidad.

Cálculo de v₂

A₁. v₁ =A₂ . v₂

v₂ = A₁. v₁ / A₂= (A₁ / A₂). v₁

Para calcular v₂ necesitamos solamente el cociente entre las respectivas áreas:

A₁ = πD₁² /4

A₂ = πD₂² /4

A₁ / A₂= [πD₁² /4] ÷ [πD₂² /4] = D₁² / D₂²

El valor de π se cancela y ni siquiera tenemos necesidad de convertir los centímetros a metros, algo que podemos recordar para futuras aplicaciones. Pero cuidado, esto es válido solamente cuando queremos hacer un cociente entre las áreas.

A₁ / A₂= 5² / 3² = 25/9

v₂ = (25/9). v₁= (25/9). 4 m/s = (100/9) m/s = 11.1 m/s

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Cálculo de P₂