Frances Physics: Conservación de la energía mecánica

La energía se define con frecuencia como la capacidad que tienen los cuerpos de producir trabajo mecánico.

Ahora bien, tanto la energía como trabajo son los aspectos relacionados con el movimiento, siempre que una fuerza intervenga en el desplazamiento del objeto, ya sea para favorecerlo o presentar oposición, decimos que esta fuerza hace trabajo.

Realizando trabajo sobre el objeto se le añade energía, o se le resta, como en el caso del rozamiento, que tiende a frenarlo. ¿Cómo la energía se manifiesta en los objetos?

Figura 1. La turbina es movida por el viento y adquiere energía cinética, la cual puede, eventualmente, transformarse en otros tipos de energía. Fuente: Pixabay.

La respuesta es: de muy diversas maneras.

Energía cinética

Por ejemplo, un objeto en movimiento tiene energía vinculada a su rapidez v, la energía cinética, a la que llamamos K y definimos mediante:

K = ½ mv²

Donde m es la masa del objeto.

Las unidades de la energía son las mismas que las del trabajo mecánico, es decir, joules, abreviados como J. 1 J equivale a un trabajo de 1 N.m (newton por metro).

Esto tiene sentido, porque hemos dicho que el trabajo hecho sobre un objeto modifica su estado energético.

Ejemplo resuelto 1

¿Cuál es la energía cinética de un objeto de 5 kg de masa que se mueve a razón de 6 m/s?

Solución

K = ½ 5kg · (6m/s)² = 90 J

El teorema trabajo – energía cinética: la demostración

Siempre que hacemos trabajo sobre un cuerpo éste cambia su estado de movimiento, y debido a ello cambia su energía cinética.

Por ejemplo, si el objeto se traslada desde el punto A hasta el punto B, el trabajo dW, hecho por la fuerza, se puede calcular así:

dW = F · ds

Pero F = ma, entonces:

dW = (ma)· ds

Ahora bien, la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo:

$\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}$

Por lo tanto:

$dW=\left (m\frac{d\mathbf{v}}{dt} \right )\cdot d\mathbf{\mathbf{}s}$

$dW=m\mathbf{v}\cdot d\mathbf{v}$

Esto se debe a que ds/dt = v, es decir, la velocidad es la primera derivada de la posición respecto al tiempo, por eso hemos podido expresar el dW en términos de la velocidad y su derivada únicamente. Nótese que estamos suponiendo que la masa permanece constante.

Ahora solo queda integrar desde A hasta B, porque el producto escalar entre v y dv (vectores, con negrita) es simplemente vdv, sin negrita, solo los módulos, ya que son vectores paralelos. Entonces:

$W=\int_{A}^{B}m\cdot vdv=\frac{m}{2}\left [v^{^{2}} \right ]_{A}^{B}=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}-\frac{1}{2}mv_{A}^{2}$

O sea:

W = ΔK

Que dicho en palabras quiere decir que el trabajo neto hecho por una fuerza equivale al cambio en la energía cinética del objeto.

Ejemplo resuelto 2

¿Cuánto trabajo realizó una fuerza sobre un objeto de 5 kg de masa si paso de tener una velocidad de 6 m/s a otra de 8 m/s?

Solución

W=ΔK = ½ 5kg · (8m/s)² − ½ 5kg · (6m/s)² = 70 J

Figura 2. Los aviones de combate disponen de un mecanismo externo para disminuir su energía cinética (frenar) cuando se posan sobre el limitado espacio del portaaviones. Se llama gancho de cola y deben desplegarlo en el momento de aterrizar. Fuente: Pixabay.

Energía potencial gravitatoria

No solamente los objetos que se mueven tienen energía, ya que esta se manifiesta de otras maneras muy diversas. Por ejemplo, supongamos que un objeto está muy, muy quieto al borde de una ventana, a cierta altura sobre el suelo, como una maceta. Es seguro que tiene energía potencial gravitatoria asociada con esta altura.

A esta energía la denotamos con la letra U y se calcula mediante:

U = mgh

Donde h es la altura sobre el suelo y g es el valor de la aceleración de la gravedad.

Otra clase de energía que tienen los objetos en reposo está relacionada con la forma en que se enlazan sus átomos constituyentes. La forma en la cual la materia está dispuesta contiene energía en sí misma, pero no nos ocuparemos de esta clase de energía en este post.

Ejemplo resuelto 3

¿Cuánta energía potencial gravitatoria tiene una maceta de 5 kg que está al borde una ventana a 6.25 m arriba del suelo?

Solución

U = mgh = 5kg ·9.8 m/s² · 6.25 m = 306.25 J

Figura 3. Mientras está sobre el borde, la maceta tiene energía potencial gravitatoria, pero si cae, esta gradualmente se transforma en energía cinética. Fuente: Pixabay.

Las fuerzas conservativas y no conservativas

En las fuerzas conservativas el trabajo que hacen no depende de la forma de la trayectoria seguida, sino solamente de los puntos final e inicial. Un ejemplo de fuerza conservativa es la fuerza de gravedad.

El trabajo hecho por la gravedad es el mismo cuando se sube verticalmente un objeto desde el punto A hasta el punto B, que si se lo eleva entre los mismos puntos pero empleando una rampa, en vez de subirlo directamente.

En cambio, en las fuerzas conservativas el trabajo no solamente depende de los puntos final e inicial, sino también de la forma de la trayectoria. La suela de los zapatos se gasta más cuando vamos zigzagueando desde A hasta B, que si caminamos simplemente en línea recta.

Para una fuerza conservativa es válido afirmar que el trabajo realizado por ella equivale a menos la variación en la energía potencial del objeto, en otras palabras:

W = − ΔU

Vamos a comprobarlo para el trabajo que hace la gravedad cuando queremos elevar un cuerpo desde una altura y = A hasta otra y = B:

El signo negativo precediendo indica que al elevar un objeto, la fuerza sigue siendo hacia abajo, hacia el centro de la tierra, mientras que el desplazamiento es hacia arriba.

Energía mecánica

La energía mecánica de un objeto se define como la suma de sus energías cinética más potencial. Si la llamamos E_m, entonces la energía mecánica que tiene el cuerpo en un cierto punto es:

E_m = K + U

Conservación de la energía mecánica

Supongamos que sobre un cuerpo actúan únicamente fuerzas conservativas, como el peso, por ejemplo. Entonces:

W = ΔK

W = −ΔU

Así que podemos igualar ambas expresiones:

ΔK = −ΔU

Ahora bien, tanto ΔK como ΔU indican variaciones, es decir, ΔK es la diferencia entre la energía cinética del punto B y el punto A. Lo mismo se puede afirmar de ΔU, es la diferencia entre la energía potencial en B y la energía potencial en A:

K_B – K_A = − (U_B– U_A)

Entonces:

K_B+ U_B= K_A + U_A

Pero esto corresponde a la definición dada de la energía mecánica, así que se concluye rápidamente que la energía mecánica es la misma en ambos puntos:

E_mA= E_mB

Y son iguales quiere decir que la energía mecánica se conserva, independientemente de la trayectoria que siga la partícula. Esto es algo muy conveniente, además, la energía tiene la ventaja de ser una cantidad escalar, no hay que preocuparse por especificar dirección y sentido.

Conservando la energía mecánica podemos resolver problemas en los cuales la trayectoria sea más compleja que las trayectorias vistas hasta ahora, como rectilíneas y circulares.

¿Qué sucede si hay fuerzas no conservativas actuando sobre el objeto?

Pasa que la energía mecánica sí experimenta variaciones. Y el cambio en la energía mecánica será precisamente el trabajo hecho por las fuerzas no conservativas. Lo podemos expresar matemáticamente de esta manera:

ΔE_m= W_nc

Donde W_nc es precisamente el trabajo que hacen las fuerzas no conservativas, como el roce por ejemplo. Veamos seguidamente un ejemplo de aplicación:

Ejemplo resuelto 4

Un bloque de 5 kg asciende por un plano inclinado con rapidez inicial de 8 m/s (ver figura). El bloque se detiene después de recorrer 3 m a lo largo del plano, cuya inclinación es de 30º respecto a la horizontal.

Calcular:

a) La variación en la energía cinética del bloque

b) El cambio en su energía potencial.

c) La magnitud de la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque.

d) El coeficiente de fricción cinética.

Añadir leyenda

Solución a

Como el bloque se detiene, su velocidad final es 0. Ya que nos piden la variación en la energía cinética:

W=ΔK = ½ 5kg · (0 m/s)² – ½ 5kg · (8m/s)² = –160 J

Nótese que, aunque la energía cinética siempre es una cantidad positiva, la variación sí que puede ser negativa. Significa que la fuerza neta trabaja en contra del movimiento ascendente del bloque, tal fuerza neta es la suma de la componente horizontal del peso y la fuerza de rozamiento cinético.

Solución b

El problema no nos indica a qué altura sobre el suelo se encontraba el bloque cuando se comenzó a estudiar el movimiento. Sin embargo, a la diferencia entre este punto y la altura final la llamamos h.

Y con ayuda de las líneas rojas tenemos un triángulo semejante al del plano inclinado, con hipotenusa igual a 3 m. Como el ángulo sigue siendo 30º, entre el borde del plano y la horizontal, por definición del seno de un ángulo tenemos:

h = 3m ·sen 30º = 1.5 m

El cambio en la energía potencial será la diferencia de energía potencial entre un punto y otro:

ΔU = mg·h_final– mg·h_inicial= mg ·Δh = 5 kg ·9.8 m/s² ·1.5 m = 73.5 J.

Solución c

Ya que hay rozamiento, este es responsable de la variación en la energía mecánica:

ΔE_m= W_nc

Pero ΔE_m = ΔK + ΔU = –160 + 73.5 J = –86.5 J

Este es el trabajo hecho por la fuerza de roce, tiene signo negativo, ya que esta fuerza es contraria al desplazamiento. Para hallar el módulo de esta, dividimos el valor absoluto del trabajo por la distancia recorrida:

f_roce = (86.5 /3) N = 28. 8 N

Solución d

De acuerdo al diagrama de cuerpo libre del bloque, la normal equilibra la componente vertical del peso:

P_y = mgcosθ