Productos con vectores (Parte II)

 Por F. Zapata

Un tercer tipo de producto que involucra vectores es el producto cruz o producto vectorial entre vectores, también llamado producto externo o de Gibbs.

El resultado del producto cruz o vectorial entre los vectores v y u es otro vector w, el cual se denota del siguiente modo:

w = v × u

Cuyo módulo es:

│w│ = │v│∙│u│∙sen θ

En esta fórmula, el ángulo θ representa el ángulo mínimo entre los vectores.

Varias magnitudes físicas importantes se calculan a través de un producto cruz, por ejemplo, el torque de una fuerza, el momento angular y la fuerza magnética.

Propiedades del producto cruz

-El producto cruz no es conmutativo, es decir que v × u ≠ u × v. De hecho, es anticonmutativo, ya que: v × u = − u × v.

-El resultado de un producto cruz entre vectores es siempre otro vector, perpendicular al plano determinado por dichos vectores.

-El sentido del vector w = v × u es el del avance de un sacacorchos cuando se hace girar de v a u, esta regla se conoce también como la regla de la mano derecha.

-Cuando el ángulo entre los vectores es θ = 0º (vectores paralelos) o θ = 180º (vectores antiparalelos), el producto vectorial entre ellos es el vector nulo. Se debe a que, en este caso, sen θ = 0.

-Se cumple la propiedad distributiva respecto a la suma vectorial: v × (u + w) = v × u + v × w

Regla de la mano derecha

Esta regla sirve para encontrar el sentido del vector que resulta de un producto cruz. Supongamos que se desea hallar el sentido del vector w = v × u, se utilizan los dedos índice, medio y pulgar de la mano derecha para representar a los vectores, del siguiente modo:

-El dedo índice representa a v, colocándose en su dirección y apuntando hacia donde lo hace v.

-Seguidamente, el dedo medio representa a u, en su dirección y sentido.

-Una vez posicionados estos dedos, el pulgar apunta en la dirección y sentido de w.

El procedimiento se muestra en la siguiente imagen, donde los vectores se señalaron con colores, para poder distinguirlos con más facilidad.

Regla de la mano derecha para determinar la dirección y el sentido del producto cruz. Modificado de Wikimedia Commons.

Producto cruz entre los vectores unitarios i, j y k

Los tres vectores unitarios i, j y k representan las tres direcciones preferenciales en el espacio: largo, ancho y altura (o profundidad). Se asocian respectivamente a los ejes coordenados x, y, z, como se muestra en la siguiente figura:

Los tres vectores unitarios i, j y k. Fuente: F. Zapata.

Puesto que son perpendiculares entre sí, el ángulo entre ellos es 90º, cuyo seno vale 1, y por ser unitarios, su magnitud también es igual a 1. Por lo tanto, el producto cruz entre ellos resulta:

Producto cruz entre vectores unitarios. Fuente: F. Zapata.

Cómo calcular el producto cruz

Los productos cruzados entre los vectores unitarios, y el diagrama de la figura de arriba, se pueden utilizar para calcular el producto cruz entre dos vectores arbitrarios v y u. Para ello es preciso tener a los vectores expresados en términos de los vectores unitarios i, j y j.

El diagrama que aparece en la figura (a la derecha) se usa de esta manera:

-Cuando se quiere hacer el producto cruz entre dos vectores unitarios en sentido de la flecha, el resultado es el tercer vector unitario con signo +.

-Si se desea hacer el producto cruz entre dos vectores unitarios, pero en sentido opuesto a la flecha, el resultado es el tercero de los vectores unitarios con signo −.

Por ejemplo, i × j = k (se hace en el sentido de la flecha curvada), pero i × k = − j (va en sentido contrario a la flecha). Dicho esto, el producto cruz entre dos vectores arbitrarios v y u cualesquiera, dados por:

v = v_x i + v_y j + v_z k

u = u_x i + u_y j + u_z k

Es:

v × u = (v_x i + v_y j + v_z k) × (u_x i + u_y j + u_z k) =

= (v_x i × u_x i) + (v_x i × u_y j) + (v_x i × u_z k) + (v_Y j × u_x i) + (v_Y j × u_y j) + (v_Y j × u_z k) + (v_Z k × u_x i) + (v_Z k × u_y j) + (v_Z k × u_z k)

Aplicando los resultados del recuadro anterior, queda:

v × u = (v_Y u_z − v_Z u_y) i + (v_Z u_x − v_x u_z) j + (v_x u_y − v_Y u_x) k

La fórmula anterior puede que no sea fácil de recordar. Afortunadamente se puede expresar como un determinante:

Ejemplo resuelto

Sean los vectores:

v = 4 i −5 j + 2k

u = i + 6 j − 3k

Su producto cruz es:

Resolviendo los determinantes indicados, se obtiene:

v × u = [ (−5) × (−3)−2 × 6 ] i − [ 4 × (−3)−2 × 1 ] j + [ 4 × 6−(−5) × 1 ] k = [ 15 − 12 ] i − [ −12 − 2] j + [ 24 + 5 ] k =

          = 3 i +14 j + 29 k

Interpretación geométrica del producto cruz

El área del paralelogramo equivale numéricamente al módulo del producto cruz entre los vectores v y u. Modificado de Wikimedia Commons.

La magnitud del producto cruz viene dada por:

│w│ = │v│∙│u│∙sen θ

Ahora bien, supongamos que se tiene un paralelogramo, cuyos lados coinciden con los vectores v y u. El área de un paralelogramo cualquiera, como el que aparece en la figura de arriba, es el producto de la longitud de su base y la altura:

A = base × altura

En el paralelogramo mostrado, la altura es entonces:

h = │u│ ∙ sen θ

Y eso es justo lo que aparece en el módulo del producto vectorial, por lo tanto:

│w│ = │v│∙│u│∙sen θ = │v│∙ h

Por otra parte, la longitud de la base del paralelogramo es el módulo del vector v. Se concluye entonces que el área A del paralelogramo, equivale al módulo del vector w, según:

A = │v│∙│u│∙sen θ

Ejemplo resuelto 2

Suponga que los vectores v y u del ejemplo resuelto 1 forman dos de los lados de un paralelogramo. ¿Cuál es el área de dicho paralelogramo?

El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial entre los vectores v y u. Se usa el resultado del ejemplo 1:

v × u = 3 i +14 j + 29 k

El módulo del vector w = v × u viene dado por:

Por lo tanto, el valor numérico del área es 32.3 unidades de área.