Productos con vectores (Parte I)

 Por F. Zapata

Aparte de sumar y restar vectores, es posible realizar con ellos tres tipos de productos, los cuales se relacionan con determinadas magnitudes físicas, como la fuerza, el trabajo mecánico y el torque, entre otras.

Los principales productos que se pueden realizar entre vectores son:

1.- Producto de un escalar por un vector

2.- Producto escalar de dos vectores, llamado también producto punto, o producto interior o interno.

3.- Producto vectorial de dos vectores (producto cruz o de Gibbs)

4.- Producto mixto.

El trabajo mecánico efectuado por estas personas al empujar el auto se puede expresar matemáticamente como un producto escalar entre dos vectores: el vector fuerza y el vector desplazamiento. Cuanta mayor fuerza se aplica, más trabajo se hace, y cuanto mayor sea el desplazamiento, mayor será el trabajo necesario. Fuente: Wikimedia Commons.

Producto de un escalar por un vector

El producto entre un escalar y un vector da como resultado un vector. Sea α un número real cualquiera y v un vector, dado por:

v = v_x i + v_y j + v_z k

Al multiplicar α por v, se obtiene un nuevo vector, proporcional a v:

αv = α(v_x i + v_y j + v_z k) = αv_x i + αv_y j + αv_z k

El vector así obtenido tiene siempre la misma dirección de v, pero su magnitud y sentido pueden ser diferentes. En efecto, si :

·         α > 1, el vector αv tiene el mismo sentido de v, y su magnitud es mayor.

·         0 < α < 1, αv tiene el mismo sentido de v, y su magnitud es menor.

·         −1 < α < 0, αv tiene sentido opuesto a v, y su magnitud es menor.

·         α < −1, αv tiene sentido opuesto a v, y su magnitud es mayor.

Adicionalmente a estas propiedades, el producto entre un escalar y un vector cumple:

·         │αv│=│α│∙│v│

·         α(v + u) = αv + αu

·         (α + β)v = αv + βv

Ejemplos de vectores que son el resultado de multiplicar un escalar por un vector son la fuerza neta aplicada a un cuerpo F = ma y su cantidad de movimiento P = mv. En ambos casos, el escalar es la masa del objeto m, la cual siempre es positiva.

Ejemplo 1

Sea el vector v = 4 i + 6 j. ¿Cuál es el vector u cuya magnitud es tres veces mayor a la de v? Encuentre las magnitudes de v y u.

u = 3v = 3 (4 i + 6 j ) = 12 i + 18 j

La magnitud de v se encuentra mediante la fórmula:

La magnitud de u es el triple, por lo tanto:

u = 3√52

Como se observa del gráfico, ambos vectores tienen la misma dirección. Dado que α = 3, el vector u tiene el mismo sentido que v, y su magnitud es tres veces mayor.

Ejemplo 2

Hallar la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo cuya masa es igual a m = 5 kg, si su aceleración es a = −2 i + 0.5 j m/s². ¿Cuál es la magnitud de esta fuerza?

Empleando la ecuación:

F = ma

Se obtiene:

F = 5 kg × (−2 i + 0.5 j )m/s² = −10 i + 2.5 j N

El módulo o magnitud de esta fuerza es:

Producto escalar entre dos vectores

El producto escalar entre dos vectores u y v, se denota con ayuda del símbolo “•” y se define a través de la ecuación:

u • v = u∙v∙cos ϕ

Donde u y v son las magnitudes de los vectores y ϕ (se lee “fi) es el ángulo entre los vectores u y v. No importa como se mide este ángulo, puesto que, por trigonometría, se cumple que:

cos ϕ = cos (−ϕ) = cos (2π − ϕ)

El producto escalar entre dos vectores puede ser positivo, cero o negativo.

• Positivo si 0 < cos ϕ ≤ 1
• Igual a 0 si cos ϕ = 0, es decir, ϕ = ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2, ± 7π/2…
• Negativo si -1 ≤ cos ϕ <0.

Entre las magnitudes físicas más conocidas que se definen a través de un producto escalar están el trabajo mecánico y el flujo de campo eléctrico. 

Caso especial 1: vectores paralelos y antiparalelos

Cuando los vectores u y v son paralelos, el ángulo entre ellos es 0º, por lo tanto, cos 0º = 1, y el producto escalar es, simplemente, el producto de las dos magnitudes:

u • v = u∙v

Si, por el contrario, los vectores son antiparalelos, es decir, son opuestos, formando un ángulo de 180º entre sí, cos 180º = −1, el producto escalar es el negativo del producto entre las dos magnitudes.

u • v = − u∙v

Caso especial 2: vectores perpendiculares

Los vectores perpendiculares son aquellos que forman un ángulo de 90º. En tal caso, ϕ = π/2, y por definición, su producto escalar es nulo.

Ejemplo 3

Dos vectores u y v tienen magnitudes respectivas de u = 5.0 y v = 10.2 unidades, formando entre sí un ángulo de ϕ = 37º. Calcular su producto escalar.

u • v = u∙v∙cos ϕ = 5.0 × 10.2 × cos 37º = 39.0

Propiedades del producto escalar

1.- El producto escalar entre dos vectores es un escalar.

2.- Al multiplicar escalarmente dos vectores perpendiculares se obtiene 0, en otras palabras, el producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo.

3.- El producto escalar entre dos vectores es conmutativo. Es decir, u • v = v • u.

4.- El producto escalar de un vector consigo mismo, es el cuadrado de su magnitud, por lo tanto: u • u = u².

5.- Cumple la propiedad distributiva respecto a la adición. Sean los vectores u, v y w, entonces: u•(v + w) = u•v + u• w

Interpretación geométrica del producto escalar

Sean los vectores u y v mostrados en la figura, entre los cuales hay un ángulo ϕ. El producto escalar entre ellos, definido como A • B = A∙B∙cos ϕ, se puede escribir como:

A • B = (A∙ cos ϕ)∙B

Pero u∙ cos ϕ es la proyección del vector A sobre el vector B, como se muestra en figuras a y b. De igual forma, el producto escalar se puede escribir como A • B = A∙ (B∙cos ϕ), por lo que se puede interpretar como la proyección de B sobre A, según la figura c.

Producto escalar entre los vectores unitarios i, j y k

Como se recordará, los vectores untarios i, j y k definen las tres principales direcciones en el espacio. Y, además, por ser unitarios, su módulo o magnitud es igual a 1. ¿Qué se puede afirmar del producto escalar entre los vectores unitarios?

Puesto que los vectores unitarios i, j y k son perpendiculares entre sí, por la definición, el producto escalar entre ellos debe ser 0:

Pero, al realizar el producto escalar entre uno de los vectores unitarios consigo mismo, el resultado es 1, así:

Con estos resultados, y haciendo uso de las propiedades 3, 4 y 5 arriba enumeradas, permiten encontrar una manera fácil de determinar el producto escalar entre dos vectores arbitrarios u y v, cuando estos se expresan en términos de los vectores unitarios i, j y k.

Supóngase que u y v tienen la forma:

u = u_x i + u_y j + u_z k

v = v_x i + v_y j + v_z k

En ese caso, su producto escalar se expresa así:

u • v = (u_x i + u_y j + u_z k) • (v_x i + v_y j + v_z k) =

= [u_x i • (v_x i + v_y j + v_z k)] + [u_y j • (v_x i + v_y j + v_z k)] + [u_z k • (v_x i + v_y j + v_z k)] =

= [( u_x i • v_x i ) + ( u_x i • v_y j ) + ( u_x i • v_z k ) ] + 

    [ ( u_y j • v_x i ) + ( u_y j • v_y j ) + ( u_y j • v_z k ) ] +

    [ (u_z k • v_x i ) + ( u_z k • v_y j ) + ( u_z k • v_z k ) ]

Solo quedan los productos entre vectores idénticos, ya que, como se vio arriba, el producto escalar entre vectores diferentes es 0, por ser perpendiculares, de allí que se concluye inmediatamente que:

u • v = ( u_x i • v_x i ) + ( u_y j • v_y j ) + ( u_z i • v_z k ) = ( u_x v_x ) + ( u_y v_y ) + ( u_z v_z )

Ejemplo 4

Dados los vectores:

u = 3 i + 4 j + 8 k

v = −2 i − j + 5 k

 

Hallar:

a) El módulo de cada uno

b) Su producto escalar

c) El ángulo entre los vectores

a) Respuesta a

El módulo de cada vector se calcula a través de:

Respuesta b

Dado que los vectores están representados en términos de los vectores unitarios i, j y k, se emplea la fórmula:

u • v = ( u_x v_x ) + ( u_y v_y ) + ( u_z v_z )

u • v = 3 × (−2) + 4 × (−1) + 8 × 5 = −6 −1 + 40 = 33

Respuesta c

Para encontrar el ángulo ϕ entre los vectores, hay que recurrir a las dos fórmulas que se tienen para el producto escalar, la primera es la definición:

u • v = u∙v∙cos ϕ

La segunda es la que se dedujo en el apartado anterior, cuando se conocen los vectores en términos de los vectores unitarios i, j y k:

u • v = ( u_x v_x ) + ( u_y v_y ) + ( u_z v_z )

Las dos expresiones son equivalentes y se igualan:

u • v = u∙v∙cos ϕ = ( u_x v_x ) + ( u_y v_y ) + ( u_z v_z )

De aquí se despeja cos ϕ:

Sustituyendo valores:

ϕ = arc cos 0.6386 = 50.3º