El problema del potencial eléctrico en el centro de un triángulo equilátero, resuelto paso a paso

 

Enunciado del problema

Se tienen tres cargas puntuales ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyo lado mide L = 20 cm. Calcular el potencial eléctrico que esta distribución de cargas produce en el centro del triángulo, sabiendo que:

q₁ = + 2.5 μC ; q₂ = + 4.2 μC; q₃ = −3.6 μC

Fuente: F. Zapata.

Solución

Sea V_C  el potencial producido por las tres en cargas en el punto C, que es el centro del triángulo. Puesto que se trata de cargas puntuales, el potencial se calcula a través de la fórmula:

Donde q es el valor de la carga, signo incluido, r es la distancia entre la carga y el punto donde se quiere encontrar el potencial y k es la constante electrostática, que en unidades del SI es:

k = 9 × 10⁹ N∙m² /C²

Por lo tanto, V_C se calcula así:

Por simetría, la distancias r₁, r₂ y r₃ son las mismas y por geometría elemental, se demuestra que el centro C del triángulo está ubicado a una distancia h/3 por encima de la base del triángulo, siendo h la altura del mismo. Todo esto aparece dibujado en la siguiente figura:

Fuente: F. Zapata.

De la cual se deduce inmediatamente que:

r₁ = h – h/3 = 2h/3

Ahora solo queda calcular el valor de h, a través de trigonometría elemental o el teorema de Pitágoras, como se prefiera. El triángulo a utilizar es el siguiente:

Fuente: F. Zapata.

h = 20 cm × sen 60º = 17.3 cm

Por lo tanto:

r₁ = 2h/3 = (2×17.3 cm)/3 = 11.53 cm

Y como ya se dijo antes, las tres cargas equidistan del centro. Entonces r₁ = r₂ = r₃ = r y al sustituir valores se obtiene:

Para realizar la operación anterior se ha tenido en cuenta que:

-Los centímetros se pasan a metros multiplicando por 10^-2, ya que el valor de la constante electrostática k está en unidades del Sistema Internacional SI.

-Asimismo, el valor de las cargas se multiplica por 10^-6 para transformar microcoulomb a coulomb, por la misma razón: estamos trabajando en el Sistema Internacional.

-El potencial viene dado en voltios, que se abrevia V, por eso se coloca esta unidad acompañando al resultado.

-El signo de las cargas se toma en cuenta al realizar la operación.

-A diferencia del campo eléctrico, el potencial eléctrico es una cantidad escalar.

Por F. Zapata.