Cargas distribuidas

 

Con frecuencia las estructuras están sujetas a la acción de una serie de fuerzas paralelas y en la misma dirección, pero cuya intensidad siempre es la misma en cada uno de sus puntos.

Por ejemplo considérese el peso de un cuerpo. Si imaginamos que el cuerpo está constituido por numerosas partículas, cada una de ellas es atraída hacia el centro de la Tierra con una determinada fuerza. Al sumar todas estas contribuciones, paralelas y apuntando hacia el suelo, se tendrá el peso del objeto.

La nieve que se acumula sobre los tejados ejerce sobre estos una fuerza distribuida sobre toda la superficie. Fuente: Pixabay.

Normalmente no se dibujan todas estas pequeñas fuerzas, ya que el número de partículas que componen el cuerpo es innumerable. Si el objeto tiene una forma geométrica regular, el peso se dibuja aplicado en su centro geométrico, y si la forma no es regular, el peso se dibuja aplicado en el centro de gravedad del cuerpo.

Otro ejemplo de fuerza distribuida es la que ejerce el agua de una piscina sobre una de las paredes o sobre el fondo. El fluido ejerce una presión sobre el fondo, a través de una fuerza que es perpendicular a la superficie, está dirigida hacia abajo y tiene igual magnitud, algo así como lo que se muestra en esta figura.

Pero en una superficie lateral es diferente, ya que la fuerza aumenta conforme lo hace la profundidad. Entonces, la fuerza en la superficie del agua es nula, y es máxima en el fondo de la piscina.

Más ejemplos de fuerzas distribuidas son la fuerza del viento sobre la fachada de una edificación, la que ejerce la nieve que ha caído sobre un tejado o la que hace un pilar sobre su base.

Tratar de encontrar la fuerza resultante sobre la pared lateral de la pisicina sería una tarea ardua, pues se debería sumar una a una la contribución sobre cada partícula de la pared. Sin embargo, el cálculo matemático facilita la tarea, como se verá en los ejemplos.

Carga distribuida a lo largo de una viga

Obsérvense las vigas de longitud L, que se muestran a continuación. Las fuerzas sobre ellas son verticales, pero se distribuyen de forma diferente a lo largo. El conjunto de vectores fuerza que actúan sobre la viga es lo que se conoce como un campo vectorial de fuerzas.

En la imagen izquierda, las fuerzas que actúan sobre la viga tienen la misma magntitud y sentido, además, están aplicadas de manera homogénea sobre toda la longitud, por eso se llama carga uniformemente distribuida, porque la fuerza tiene la misma intensidad a todo lo largo.

En la figura derecha, las fuerzas son verticales y hacia abajo, pero no tienen la misma magnitud, sino que esta crece de izquierda a derecha, partiendo de 0 en el lado izquierdo y alcanzando un máximo en el lado derecho de la viga. La figura que se forma es un triángulo, y por eso es una distribución de carga triangular.

Naturalmente, la carga puede distribuirse de otras maneras, aparte de estas.

Pero en cualquiera de estos casos, ¿cuál es la fuerza resultante sobre la viga y dónde se puede considerar que esté aplicada? Sería interesante saberlo, pues la distribución se puede sustituir por esta resultante y el punto donde se aplica, y así estudiar mejor sus efectos.

Cálculo de la fuerza resultante

Según el principio de superposición, la fuerza resultante se obtiene al sumar cada contribución. Las figuras muestran un número limitado de estas fuerzas, pero en realidad, ellas actúan sobre cada punto de la viga.

En la figura de arriba a la izquierda, se muestra una fuerza distribuida sobre una viga de longitud L y ancho b. Dicha distribución varía a lo largo del eje x, que es el eje sobre el que se ubica la viga, siguiendo una curva, dada por la función p(x), cuyas unidades en el Sistema Internacional son N/m², es decir, las mismas unidades de la presión, que viene dada como fuerza por unidad de área.

Si esta función p(x) se multiplica por el ancho de la viga, se tiene la fuerza por unidad de longitud, a la cual se llamará w(x) (figura del medio):

w(x) = p(x)∙b

Supóngase que se toma una pequeña parte de la viga, de largo dx:

Entonces la fuerza dF sobre esta pequeña parte es el producto entre w(x) y la longitud dx:

dF = w(x)dx

Lo anterior equivale a una pequeña porción del área bajo la curva, llamada dA.

Para obtener la fuerza resultante F_R, se suma cada pequeña contribución dF a lo largo de la viga, lo cual da lugar a la siguiente integral definida:

En otras palabras, la fuerza resultante equivale al área (sombreada) bajo la curva.

Centro de aplicación de la fuerza

La fuerza resultante calculada en el apartado anterior, cuya magnitud es F, está aplicada en el punto C, en la figura de arriba izquierda y derecha. Este punto se llama centro de aplicación de la fuerza, se denota mediante una “x” con una barra encima, y su ubicación está por determinarse, con ayuda del momento.

Cada contribución de la fuerza, llamada  dF, produce un momento de magnitud xdF alrededor del punto O, según se aprecia en la figura del centro (recuérdese que la magnitud del momento viene dada en este caso por el producto entre la fuerza dF y su distancia x al eje de giro, ubicado en O en este caso).

Sumando cada una de estas contribuciones del momento, se tiene la magnitud del momento total, respecto a O. Como se sabe, esta suma es una integral:

Pero dF = w(x)dx, entonces:

Y a su vez, esta integral equivale al producto de “x” con barra encima, multiplicado por la magnitud de la fuerza resultante, por lo que es válido escribir:

Despejando:

Resumen

Ecuaciones para la resultante de una fuerza distribuida y la localización del punto de aplicación.

Ejemplo 1

Sobre la viga de longitud igual a 10 pies, mostrada en la figura, actúa una fuerza distribuida uniformemente, con w(x) = 400 lb/pie. Calcular la magnitud de la fuerza resultante y su centro de aplicación.

Solución

Para hallar la fuerza resultante no es necesario integrar, ya que el área bajo w(x) es simplemente la de un rectángulo de base 10 pies y altura 400 lb/pie, por lo tanto:

F_R = 10 pies × 400 lb/pie = 4000 lb

En cuanto al centro de aplicación de la fuerza, al ser una distribución homogénea está aplicada en el centro de la viga, es decir a 5 pies de un extremo cualquiera.

Ejemplo 2

La viga de la siguiente figura tiene L = 6 m, y el valor máximo de la fuerza por unidad de longitud es 600 N/m. Hallar:

a) La función w(x)

b) La magnitud de la fuerza resultante

c) El centro de aplicación de la fuerza

Solución a

La función w(x) tiene la forma de una recta que pasa por el origen:

w(x) = mx

Donde m es la pendiente de la recta:

Por lo tanto:

w(x) = 100x N/m

Solución b

Conociendo w(x) se puede integrar, sin embargo, el área bajo w(x) es la de un triángulo, cuya fórmula es ampliamente conocida (base por altura sobre 2):

F_R = (6 m × 600 N/m)/2 = 1800 N

Solución c

El centro de la aplicación de la fuerza coincide con el centroide del triángulo, ubicado a 1/3 del extremo derecho de la figura, es decir, a 2 m del extremo derecho o ben a 4 m del extremo izquierdo.

También puede integrarse, ya que no es difícil y se obtiene el mismo resultado:

Ejemplo 3

Hallar la resultante de la distribución mostrada arriba y el centro de aplicación de la fuerza:

Solución

Se pueden superponer tres distribuciones homogéneas. La primera tiene altura 1.5 kN/m y base 3m, la segunda tiene altura 1 kN/m y base 3 m, y la tercera tiene altura 2.5 kN/m y base 1.5 m:

F_R = (1.5 × 3) kN + (1 × 3) kN + (2.5× 1.5) kN = (4.5 + 3 + 3.75) kN = 11.25 kN

La fuerza neta en cada una se puede suponer aplicada en su respectivo centro. La primera fuerza, de 4.5 kN se aplica a 1.5 m del punto A, la segunda, de magnitud 3 kN, se aplica a 4.5 m del punto A y la tercera, de 3.75 kN, se aplica a 6.75 m del punto A.

El momento respecto a A, producido por cada distribución, es entonces:

M_A = (4.5 × 1.5) kN∙m  + (3 × 4.5) kN∙m + (3.75× 6.75) kN∙m = 45.5625 kN∙m

Dado que: