La ley de Gravitación Universal y dos aplicaciones simples en astronomía

En esta breve revisión, se verá cómo Newton hizo uso de sus tres leyes del movimiento y de la tercera ley de Kepler, para encontrar la expresión que permite calcular la fuerza de atracción gravitatoria existente entre dos objetos cualesquiera con masa.

Esos dos objetos pueden ser, por ejemplo, la Tierra y el Sol. En principio y por simplicidad, se puede suponer que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es circular, aunque en realidad es elíptica, solo que la excentricidad de esta elipse es tan pequeña, que es casi como si fuera una circunferencia.

El físico inglés Isaac Newton estableció su ley de la gravitación universal en 1687, demostrando que podía explicar por igual la caída de una manzana y los movimientos planetarios. Fuente: Open Clip Art.

De esta manera, la aceleración que mantiene a la Tierra en su órbita es nuestra conocida aceleración centrípeta a_c, cuya deducción pueden ver en nuestro post de movimiento circular:

Donde v es la rapidez de la rotación y r es el radio de la trayectoria circular. En lo que sigue, supondremos que la distancia r es mucho mayor que los radios de la Tierra y del Sol.

La rapidez de rotación está relacionada con el período orbital P de acuerdo a:

Enseguida se aplica la segunda ley de Newton, según la cual, la magnitud de la fuerza centrípeta F_c es el producto de la masa m de la Tierra por su aceleración centrípeta a_c:

Ahora entra en acción la tercera ley de Kepler, según la cual, el cuadrado del período de rotación del planeta, llamado P, es proporcional al cubo del radio orbital:

Donde k es la constante de proporcionalidad.

Sustituyendo estas dos ecuaciones en la expresión para la magnitud de la fuerza centrípeta, se obtiene lo siguiente:

Y de acuerdo a esto, la fuerza que mantiene a la Tierra en órbita alrededor del Sol, debe ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ambos objetos celestes.

Considerando la tercera ley de Newton, el cuerpo que ejerce la fuerza sobre la Tierra, que en este caso es el Sol, recibe una fuerza que es igual en magnitud a F_c, en la misma dirección y en sentido contrario. La magnitud de dicha fuerza es proporcional a M, la masa del Sol, por lo que se puede escribir una ecuación parecida a la anterior, pero con una constante de proporcionalidad diferente, a la cual llamaremos k’:

Si se multiplica F_c por m, la masa de la Tierra, se altera la ecuación, pero entonces la fuerza queda expresada en términos de las masas involucradas. Para evitar que se altere, dado que las masas son constantes, se coloca una tercera constante k’’ diferente de las anteriores, pero relacionada con ellas:

No hay problema con esto, pues las constantes se reúnen bajo un mismo nombre, G, obteniéndose:

¡Y por fin!, la magnitud de la fuerza de atracción gravitacional entre m y M resulta la conocida ecuación:

Con el valor de G en el Sistema Internacional de Unidades dado por:

G = 6.673 × 10⁻¹¹ N∙m²/kg²

Esta es la ley de gravitación universal de Newton, según la cual dos objetos de masas m y M, separados una distancia r, se atraen con una fuerza proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. 

Dado que la fuerza es un vector, en principio, la fuerza está dirigida a lo largo de la línea que une los respectivos centros. En otras palabras, se supone que los objetos son partículas, aunque en realidad tengan tamaño mensurable.

No necesariamente estos objetos tienen que ser planetas y estrellas, u objetos celestes en general. La fuerza de gravedad atrae a cualesquiera dos masas en cualquier parte, solo que, si las masas son muy pequeñas, la fuerza de atracción también lo será.

Esquema de la atracción gravitatoria entre dos masas. Fuente: Wikimedia Commons.

Ahora veamos algunas aplicaciones interesantes de la ley de gravitación universal de Newton:

Ejemplo 1

¿Qué fuerza gravitacional experimenta un objeto de masa m que se deja caer a una altura h de la superficie de la Tierra? No considerar fuerzas como el roce con el aire y otras.

¿Con qué aceleración cae la manzana? Fuente: Pexels.

Respuesta

Se sabe que el objeto caerá hacia el centro de la Tierra con la aceleración de gravedad g. En la ecuación anterior, diremos que m es la masa del objeto, mientras que M es la masa de la Tierra, además r será igual a:

r = h + R

Donde R es el radio de la Tierra. Con esto en mente, la fuerza que experimenta el objeto es:

Pero h es mucho, pero mucho menor que R, puesto que el radio de la Tierra es de aproximadamente R = 6371 km = 6378000 m. Por lo tanto, no nos arriesgamos al afirmar que:

h + R ≈ R

Después de todo, si le sumamos a un número muy grande como R, otro número muy pequeño en comparación, como h, la diferencia no es mucha y el resultado seguirá siendo R con muy buena aproximación. El lector puede comprobar que esto es cierto con la ayuda de su calculadora.

Por eso utilizamos el símbolo ‘≈’, para indicar que se trata de una aproximación, que en la práctica resulta muy conveniente, como se verá en breve.

Por lo tanto, la fuerza experimentada por el objeto es:

Aplicando la segunda ley de Newton:

Entonces:

Sabiendo que la masa en kilogramos de la Tierra es aproximadamente M = 5.972 x 10²⁴  kg, el valor de g resulta:

Este valor es el que todos reconocen como el de la gravedad cerca de la superficie terrestre, y la aproximación que se hizo al comienzo resultó ser buena.

Sin embargo, como la Tierra no es una esfera perfecta, y además rota sobre sí misma, el valor de g varía ligeramente, entre 9.781 m/s³ en el ecuador a 9.832 m/s² en los polos.

Ejemplo 2

La supertierra Gliese 581c, llamada también Terra Nova, tiene una aceleración de gravedad en su superficie equivalente a 2.2 veces la terrestre, mientras que su radio es 1.5 veces el de nuestro planeta. ¿Cuál será la masa estimada de este exoplaneta?

El planeta Gliese 581c se encuentra en la zona habitable de su estrella, la enana roja Gliese 581, situada a 20.5 años luz de la Tierra. Fuente: Wikimedia Commons.

La ecuación deducida anteriormente dará la respuesta, despejando la masa del planeta, que en este caso llamaremos como M_G, con el subíndice ‘G’ que indica ‘Gliese’:

Con la información del enunciado y los valores de radio y gravedad terrestre, se tiene:

R_G = 1.5 × 6378000 m

g_G = 2.2 × 9.8m/s²

Gliese 581c es un planeta rocoso, semejante a la Tierra, aunque de mayor tamaño. Su densidad aproximada es de 8.1 kg/m³, un valor que se puede calcular fácilmente, ahora que se conoce la masa del planeta. 

La densidad terrestre es un poco menor: 5.51 kg/m³, sin embargo, los científicos creen que Gliese 581c puede contener agua líquida y temperaturas apropiadas, aunque se encuentra en rotación síncrona con su estrella, lo cual quiere decir que el planeta siempre tiene un hemisferio iluminado y otro en la oscuridad.

Además, su estrella madre, Gliese 581, es un poco diferente a nuestro Sol, pues se trata de una estrella enana roja. 

¿Cómo sería vivir allí?

Por F. Zapata