Vectores: 8 ejercicios con solución detallada

 

Ejercicio 1 

Vectores en el plano

Dado el vector v = 3 i + 5 j, se pide:

a) Dibujarlo sobre el plano cartesiano

b) Hallar su módulo

c) Calcular su dirección

d) Encontrar el vector unitario en la dirección de v.

Solución a

Gráfica del vector v realizada con Geogebra.

Solución b

La magnitud del vector se calcula a través de:

Solución c

La dirección es el ángulo θ que forma el vector con el eje +x, dada por:

Solución d

El vector unitario se calcula mediante:

Ejercicio 2 

Suma de vectores en el plano

Dados los vectores:

v = −3 i + 3 j

u = −4 i + 3 j

w = i + 5 j

t = −3 i + j

Hallar su suma:

a) Gráficamente

b) Analíticamente

Solución a

El vector suma S se encuentra gráficamente por el método del polígono, teniendo en cuenta que el orden de los sumandos no altera la suma, ya que esta es conmutativa.

Solución b

v = −3 i + 3 j

u = −4 i + 3 j

w =   i  + 5 j

                 t = −3 i + j              +

-----------------------------------

      S = −9 i +12 j

Ejercicio 3 

Producto entre un escalar y un vector

Sea el vector v = 4 i + 6 j. ¿Cuál es el vector u cuya magnitud es tres veces mayor a la de v? Encuentre las magnitudes de v y u.

Solución 

u = 3v = 3 (4 i + 6 j) = 12 i + 18 j

La magnitud de v se encuentra mediante la fórmula:

La magnitud de u es el triple, por lo tanto:

u = 3√52

Como se observa del gráfico, ambos vectores tienen la misma dirección. Dado que α = 3, el vector u tiene el mismo sentido que v, y su magnitud es tres veces mayor.

Ejercicio 4 

Producto escalar de dos vectores

Dos vectores u y v tienen magnitudes respectivas de u = 5.0 y v = 10.2 unidades, formando entre sí un ángulo de ϕ = 37º. Calcular su producto escalar.

Solución 

Aplicando la definición de producto escalar:

u • v = u∙v∙cos ϕ = 5.0 × 10.2 × cos 37º = 39.0

Ejercicio 5 

Producto escalar de dos vectores

Dados los siguientes vectores:

u = 3 i + 4 j + 8 k

v = −2 i − j + 5 k

 

Hallar:

a) El módulo de cada uno

b) Su producto escalar

c) El ángulo entre los vectores

a) 

Solución a

El módulo de cada vector se calcula a través de la fórmula:

Solución b

Dado que los vectores están representados en términos de los vectores unitarios i, j y k, se emplea la fórmula:

u • v = (u_x v_x) + (u_y v_y) + (u_z v_z)

u • v = 3 × (−2) + 4 × (−1) + 8 × 5 = −6 −1 + 40 = 33

Solución c

Para encontrar el ángulo ϕ entre los vectores, hay que recurrir a las dos fórmulas que se tienen para el producto escalar, la primera es la definición:

u • v = u∙v∙cos ϕ

La segunda es la que se dedujo en el apartado anterior, cuando se conocen los vectores en términos de los vectores unitarios i, j y k:

u • v = (u_x v_x) + (u_y v_y) + (u_z v_z)

Las dos expresiones son equivalentes y se igualan:

u • v = u∙v∙cos ϕ = (u_x v_x) + (u_y v_y) + (u_z v_z)

De aquí se despeja cos ϕ:

Sustituyendo valores:

ϕ = arccos 0.6386 = 50.3º

Ejercicio 6 

Producto vectorial de dos vectores

Sean los vectores:

v = 4 i −5 j + 2 k

u = i + 6 j − 3 k

Calcular su producto cruz.

Solución 

Resolviendo los determinantes indicados, se obtiene:

v × u = 

[(−5) × (−3)−2 × 6] i − [4 × (−3)−2 × 1] j + [4 × 6−(−5) × 1] k = [15 − 12] i − [−12 − 2] j + [24 + 5] k  = 3 i +14 j + 29 k

Ejercicio 7 

Producto vectorial de dos vectores

Suponga que los vectores v y u del ejercicio anterior forman dos de los lados de un paralelogramo. ¿Cuál es el área de dicho paralelogramo?

Solución

El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial entre los vectores v y u:

v × u = 3 i +14 j + 29 k

El módulo del vector w = v × u viene dado por:

Por lo tanto, el valor numérico del área es 32.3 unidades de área.

Ejercicio 8 

Vectores en el espacio

Encontrar el ángulo entre los vectores a y b mostrados en la siguiente figura:

Solución

El primer paso es expresar los vectores en términos de sus componentes cartesianas. En el dibujo mostrado, se puede fijar el origen (0,0,0) en la esquina mostrada en verde y a partir de allí, expresar los vectores en términos de sus componentes. Desde luego, el origen se podría haber fijado en cualquier otro punto.

De acuerdo a esta elección, el vector a, en color azul, tiene su origen en el punto (0,0,4) y su punto de llegada en (0,6,0), por lo tanto, sus componentes se determinan restando la coordenada final y la coordenada inicial, como se muestra:

a_x = 0 – 0 = 0

a_y = 6 – 0 = 6

a_z = 0 – 4 = – 4

Entonces, a se puede escribir como:

a = 0 i + 6 j – 4 k

Por su parte, el vector b en color rojo, también tiene su origen en el punto (0,0,4) y su punto de llegada en (5,6,4). Entonces, sus componentes son:

b_x = 5 – 0 = 5

b_y = 6 – 0 = 6

b_z = 4 – 4 = 0

Por lo que se puede escribir como:

b = 5 i + 6 j + 0 k

Para determinar el ángulo ϕ entre ellos, se hará uso de la definición de producto escalar de dos vectores:

a • b = a∙b∙cos ϕ

De acuerdo a esto, se despeja cos ϕ:

Enseguida se calcula el producto escalar entre los vectores:

a • b = (a_x b_x) + (a_y b_y) + (a_z b_z)

a • b = 0 × 5 + 6 × 6 + (–4 × 0) = 0 +36+0 = 36

El siguiente paso es calcular los módulos de cada vector:

Al sustituir en el despeje del coseno, queda:

Y a través del arco coseno de este valor, resulta:

ϕ = 50.3º