Ecuaciones de segundo grado: solución completando cuadrados

Entre los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, aparte de la utilización de la fórmula cuadrática y la factorización, está el procedimiento de completar cuadrados. Este método, dicho sea de paso, también es útil para otras tareas como pasar la ecuación general de la circunferencia a la forma canónica, así como resolver algunos tipos de integrales.

Estudiante resolviendo una ecuación de segundo grado. Fuente: World Bank Photo Collection.

La idea consiste en transformar la forma original de la ecuación cuadrática:

 ax² + bx + c= 0  

En una ecuación de la forma:

(x + m)² = n

 Una vez reescrita así, se aplica raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad y se despeja la incógnita. 

Evidentemente, hay que hacer algo de trabajo algebraico para encontrar los valores de m y n a partir de los coeficientes a, b y c, y esto se logra comparando con el producto notable:

x² ± 2kx + k² = (x ± k)²

¡Vamos a ilustrar el procedimiento mediante algunos ejemplos!

 

Ejemplo 1

Emplear el método de completar al cuadrado para resolver la siguiente ecuación de segundo grado:

x² ─ 2x ─ 3=0

Solución

 El primer paso es trasladar el término independiente al otro de lado de la igualdad:

x²─2x= 3

Ahora, obsérvese cuidadosamente los términos que están a la izquierda de la igualdad. ¿Qué número haría falta para que fuese un trinomio cuadrado perfecto?

La respuesta es k²=1. El valor de k es la mitad del coeficiente que acompaña a la ‘x’ sin tomar en cuenta el signo y elevada al cuadrado, para que concuerde con el producto notable. Como el coeficiente del ejemplo es 2, su mitad es k=1, y elevada al cuadrado resulta 1.

Téngase presente que si a la izquierda de la igualdad se suma 1², también debe hacerse del mismo modo a la derecha, para que la expresión original no se modifique, así:

x² ─ 2x + 1²= 3 + 1²

Ahora se tiene un trinomio cuadrado perfecto a la izquierda y un número a la derecha de la igualdad:

x² ─ 2x+1² = 3 + 1²

(x─1)² = 4

Despéjese la incógnita aplicando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:

Esto da lugar a dos ecuaciones sencillas de primer grado, la primera es:

x ─1= 2

x₁ = 3

La segunda es:

x+1= ─2

x₂ = ─1

Ambos valores son soluciones de la ecuación dada.

Ejemplo 2

Emplear el método de completar al cuadrado para resolver la siguiente ecuación de segundo grado:

x² ─ 6x ─ 10 = 0

Solución

Se traslada el término independiente al otro de lado de la igualdad:

x²─ 6x= 10

Obsérvese que los términos de la izquierda se reescriben de esta forma:

x² ─ 2∙3x= 10

De manera, k =3 y k² = 9. Este último es el número que hay que sumar a ambos lados de la igualdad:

x² ─ 2∙3x + 9 = 10 + 9

A la izquierda queda un trinomio cuadrado perfecto, y a la derecha, un número:

(x ─ 3)² = 19

Aplicando raíz cuadrada a ambos lados:

 

Ejemplo 3

Complete cuadrados para resolver la ecuación de segundo grado:

3x² + 6x ─ 12 = 0

Solución

Como de costumbre, se traslada el término independiente al otro lado de la igualdad:

3x² + 6x = 12

Puesto que el coeficiente del término cuadrático no es igual a 1, hay que factorizar el lado izquierdo:

3 (x² + 2x) = 12

x² + 2x = 4

Obsérvese que los términos de la izquierda se reescriben de esta forma:

x²+2∙x = 4

De manera, k =1 y k² = 1:

x²+2∙x + 1 = 4 + 1

A la izquierda queda un trinomio cuadrado perfecto, y a la derecha, un número:

(x+1)² = 5

Aplicando raíz cuadrada a ambos lados:

Por F. Zapata