Cuando se tiene un objeto de tamaño mensurable, que además está provisto de carga eléctrica, se dice que se tiene una distribución de carga continua. El objeto puede ser un cable, una lámina, una esfera, un cilindro o, en general, cualquier objeto con tres dimensiones.
En realidad, se
podría argumentar que la carga eléctrica está cuantizada, siendo la más pequeña
posible, en la práctica, la del electrón, como es sabido. Sin embargo, para un
objeto cargado con dimensiones mensurables, este hecho se puede ignorar, debido
a la gran cantidad de electrones presentes.
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| La anguila eléctrica produce una descarga eléctrica que aturde a sus presas, gracias a que posee miles de células modificadas llamadas electrocitos, capaces de producir un campo eléctrico. Los seres humanos también producen campos eléctricos mucho más débiles. Fuente de la imagen: Wikimedia Commons. |
Procedimiento general
Para calcular el
campo eléctrico que tal objeto produce en algún punto del espacio, conviene
subdividirlo en cargas mucho más pequeñas. Tomando una sola de estas cargas, se
puede considerar como una carga puntual y el campo que produce se halla a
través de la ley de Coulomb para cargas puntuales.
El procedimiento
se repite continuamente hasta hallar cada campo de cada carga puntual. Luego se
suman, vectorialmente, y el resultado es el campo eléctrico total que la
distribución produce en el punto seleccionado.
En esta figura se
tiene un objeto con carga total Q de forma arbitraria, del cual se toma una
carga muy pequeña dq, ubicada en cualquier parte del mismo. La distancia
entre dicha carga puntual y el punto donde se quiere calcular el campo es r,
mientras que k es la constante electrostática:
k ≈
8.9875517873681764 × 10⁹ N·m²/C²≈ 9 × 10⁹ N·m²/C²
- Se ‘divide’ matemáticamente el objeto en numerosas cargas minúsculas, que pueden considerarse ‘puntuales’.
- Enseguida, se aplica a cada una de estas cargas, llamadas dq, la ley de Coulomb para el campo eléctrico.
- Por último, se suman vectorialmente todos los campos eléctricos así obtenidos, lo cual se hace estableciendo una integral definida sobre toda la distribución y resolviéndola.
Este es el
procedimiento general que se sigue para calcular cualquiera problema de campo
eléctrico en una distribución continua.
La dificultad
radica, por supuesto, en establecer y resolver la integral correcta. Esta solo
puede resolverse analíticamente en ciertos casos con gran simetría, del resto,
se resuelve mediante procedimientos numéricos.
Además, nunca se
debe olvidar que el campo eléctrico es un vector, y que, por lo tanto, hay que
estar atento a dar todas sus componentes.
Vamos a
desarrollar un ejemplo con el que esperamos clarificar la cuestión de cómo
plantear y resolver la integral, ya que este el punto que suele presentar más
dificultades.
Ejemplo resuelto paso a
paso
Calcular el campo eléctrico producido por una barra delgada de longitud L, cargada uniformemente con carga total Q, en el punto P mostrado en la figura, el cual dista una distancia d del extremo derecho de la barra:
Solución
Paso 1
El primer paso es establecer un sistema de referencia para
ubicar correctamente tanto la distribución de carga como el punto donde se
quiere calcular el campo. En este ejemplo, basta con situarlo todo sobre el eje
x, entonces, el extremo izquierdo de la barra está x=0, el extremo derecho en
x=L y el punto P en la posición x=d+L.
Paso 2
Una vez situado el sistema de referencia con todo lo que
indica el enunciado, es el momento de tomar el dq que se va a colocar en
la ley de Coulomb. ¿Dónde se tomará? Pues en cualquier parte de la
distribución, evitando hacerlo en mitad de ella o en un extremo, ya que esta
carga diferencial debe estar en un lugar arbitrario.
En la figura,
esta ubicación se ha marcado en rojo y se la denota simplemente como x.
Todo lo que se sabe de ella es que se encuentra entre x=0 y x=L. A la carga
puntual en cuestión la hemos resaltado con un color más oscuro.
Paso 3
El siguiente paso es relacionar la carga puntual dq con la
geometría de la distribución, a través de alguna expresión algebraica. Como el
enunciado afirma que la carga está uniformemente distribuida sobre la barra,
entonces simplemente:
Q=λ∙L
Y, en
consecuencia:
dq=λ∙dx
Es decir,
cuando la carga total Q se distribuye de forma homogénea en toda la longitud L
de la barra, lógicamente también será así si una carga dq se distribuye
a lo largo de una longitud infinitesimal dx.
Paso 4
Ahora vienen los cálculos con la ley de Coulomb, donde se va
a sustituir todo lo que se estableció en los pasos previos, pero antes, es
preciso esbozar el campo producido por la carga infinitesimal dq.
Dado que el enunciado informa que la carga de la barra es Q,
positiva, el campo dE es saliente a la barra y dirigido
a lo largo de la línea que une a dq con P:
El vector se ha destacado en color azul para mayor claridad. Por lo
tanto, el campo estará dirigido a lo largo del eje x en sentido positivo.
Todo está listo para calcular la integral:
Recuérdese que la distancia r es la que hay entre la carga infinitesimalmente pequeña y el punto P donde se desea calcular el campo. Se ha resaltado en la figura de arriba como r= d+L-x.
Paso 5
Haciendo el cambio de variable:
Cuando x=0, u=d+L y cuando x=L, u = d, la se transforma en:
En ocasiones, es conveniente expresar el resultado en términos de la
carga total Q presente en la barra, en vez de la densidad de carga. Entonces,
sabiendo que Q=λ∙L:
Paso 6
Verificar la ecuación obtenida desde el punto de vista de las
dimensiones.
La expresión para cualquier campo eléctrico, en unidades del Sistema Internacional, contiene:
- La constante electrostática k, o bien la equivalente en términos de la permitividad del vacío ε₀, sabiendo que k = 1 / (4πε₀) y ε₀ ≈ 8.854 × 10⁻¹² C²/N·m².
- Carga eléctrica en el numerador.
- Una distancia al cuadrado en el denominador.
Según esto, la ecuación que se obtuvo en el paso 5 es correcta desde el punto de
vista dimensional.
Otra forma de verificar que la ecuación es correcta es hacer tender L a
0 (¿por qué?) y ver que se obtiene la expresión para el campo eléctrico
producido por una carga puntual:
Resumen
Cuando se tiene una distribución de carga continua y se quiere el calcular el campo que produce en cualquier punto P, hay que:
- Establecer un sistema de referencia adecuado.
- Dividir la distribución en pequeñas cargas infinitesimales.
- Expresar el diferencial de carga en términos de la densidad de carga y la geometría de la distribución.
- Armar la integral, cuyos límites estarán dados por la geometría de la distribución y recordando que el campo eléctrico es un vector, por lo que, en principio, habrá una integral por cada componente.
- Aprovechar las simetrías, si las hay, con el fin de facilitar y simplificar los cálculos. Por ejemplo, el campo de una distribución de carga esférica debe ser radial.
- Aplicar un método para la resolución de la integral. Si la distribución carece de simetría, un método numérico siempre será de utilidad.
Por F. Zapata.
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