Sistema sencillo con fuerza central: comprobación de la ley de las áreas.

Por Ricardo Pérez

Si la fuerza que actúa sobre una partícula es central, entonces el torque de dicha fuerza respecto al centro de atracción es nulo y como consecuencia, el momentum angular del sistema medido desde ese centro de atracción es constante.

Si el movimiento de una partícula tiene momentum angular constante, entonces la trayectoria será plana y además se cumple la ley de las áreas, la cual establece que el sector de área recorrida por el radio vector en un lapso de tiempo dado, es igual en cualquier punto de la trayectoria.

Los planetas son sistemas sometidos a la fuerza de gravedad del Sol, por tanto son sistemas sometidos a una fuerza central. 

Desde un referencial en el centro del Sol, el momentum angular orbital de cada planeta es una cantidad que se mantiene constante durante todo el movimiento y cumple la ley de las áreas enunciada por primera vez por Johannes Kepler en 1609, en la segunda de sus leyes afirmando que: 

El vector radial de posición que va del Sol (centro de atracción) al planeta recorre áreas iguales en lapsos de tiempos iguales.

El péndulo cónico

Un péndulo cónico consiste en una esfera sujeta al extremo de una cuerda cuyo otro extremo está fijo a un apoyo. 

Si se le da un impulso adecuado, la esfera sujeta a la cuerda sigue una trayectoria ovalada o circular. 

Cuando la cuerda es suficientemente larga y la apertura angular de la cuerda respecto a la vertical es pequeña (menos de 15º), la fuerza neta apunta hacia el eje vertical y es prácticamente horizontal, lo que constituye un sistema con fuerza neta central, en el que puede comprobarse la ley de las áreas.

Para llevar un registro espacio-temporal del movimiento se hace uso de la fotografía estroboscópica, mediante la cual se fotografía la posición de la esfera a intervalos regulares de tiempo. 

De este modo se obtiene un registro de la posición a cada instante, como el que se muestra en la figura siguiente:

La figura anterior registra el movimiento de una esfera sujeta a una cuerda y que sigue una trayectoria ovalada. La secuencia se obtuvo mediante fotografías a intervalos regulares de tiempo, con la cámara apuntando verticalmente hacia abajo. 

Esta imagen fue obtenida del libro “Guía del laboratorio de Física del Physical Science Study Committee PSSC. Editorial Reverté. 1977”.

El tiempo entre una toma y la siguiente es 1/60 s, es decir aproximadamente 0,0166s.

Comprobación de la ley de las áreas

Para verificar la ley de las áreas la fotografía anterior fue insertada dentro del programa informático Geogebra. 

En cada posición de la esfera se selecciona un punto. Luego se dibuja la poligonal que une seis puntos y los puntos extremos con el centro de atracción de fuerza (posición inicial en reposo de la esfera). 

El programa Geogebra calcula automáticamente el área del polígono. Se repite el procedimiento en distintos lugares de la trayectoria. Los resultados se muestran en la siguiente figura:

Se puede ver, a groso modo, que las área recorridas en lapsos de tiempo iguales también son iguales. Claro, los resultados no son idénticos debido al error experimental. A continuación se analizan los resultados:

Para obtener la velocidad aerolar promedio se divide el área barrida en el lapso de seis destellos (o fotogramas). El área promedio resultó ser:

<A> = 25,1 cm² con un error de 0,3 cm². El lapso de tiempo entre un fotograma y el siguiente es 1/60 s, es decir que el lapso total de tiempo es:

Δt = 5/60 s = 1/12 s = 0,083 s.

La velocidad aerolar promedio es:

<Va> = 25,1*12 cm²/s = 301,4 cm²/s.

De la gráfica del área recorrida en el lapso de seis destellos, se nota una disminución leve pero sistemática en la velocidad aerolar. Suponemos que esta disminución se debe a pérdidas de energía por fricción del péndulo con el aire.