Frances Physics: Ejercicios resueltos y propuestos de Cinemática en 1 dimensión

Por Fanny Zapata

Ejercicio 1 Velocidad media

Un ciclista pedalea en una zona montañosa. Cuando va cuesta arriba lo hace a velocidad constante de 5 km/h y cuando va cuesta abajo va 20 km/h. Hallar su velocidad media en cada uno de los siguientes casos:

a) Cuando las subidas y bajadas tienen la misma longitud.

b) Si emplea el mismo tiempo para las subidas y bajadas.

c) Si se tarda el doble tiempo en las subidas que en las bajadas

Solución

a) Las subidas y las bajadas tienen cada una la misma longitud, pero se recorren en distintos tiempos. La definición de velocidad media es:

v_media = desplazamiento / tiempo = d /t

Llamemos D a la distancia recorrida en subida, que es igual a la de bajada:

d_subida =d_bajada = D

Los tiempos son diferentes:

t_subida = d_subida /v _subida = D / 5 km/h

t_bajada = d_bajada /v _bajada= D / 20 km/h

El tiempo total empleado en subir y bajar es la suma de estos dos tiempos, y la longitud total recorrida es 2L, por lo tanto:

$v_{m}=\frac{2D}{\frac{D}{5}+\frac{D}{20}}\, km/h=8\: km/h$

b) Llamemos t al tiempo que emplea en subir o bajar. Como emplea el mismo tiempo en subir que en bajar, el tiempo ahora es 2t, pero las distancias son diferentes:

d_subida = v_subida x t = 5t

d_bajada = v_bajada x t = 20t

$v_{m}=\frac{5t+20t}{2t}\: km/h=12.5\: km/h$

c) En este caso:

t_subida = 2t_bajada

Al tiempo de bajada lo llamaremos “t”:

$v_{m}=\frac{d_{subida}+d_{bajada}}{t_{subida}+t_{bajada}}=\frac{5.2t+20t}{2t+t}=10\: km/h$

Ejercicio 2 Movimientos horizontales

Un automóvil arranca justo en el momento en que se enciende la luz verde del semáforo, lo hace con aceleración constante de 6 pies/s². En ese preciso momento un camión, que lleva rapidez constante de 30 pies/s lo rebasa. Calcular:

a) ¿A qué distancia del punto de partida alcanza el automóvil al camión?

b) ¿Cuál es la velocidad del automóvil en ese instante?

Solución

Se trata de dos móviles, cada uno tiene un movimiento diferente. Escogiendo como posición inicial para ambos móviles:

x_o = 0

Y además el tiempo t es el mismo para los dos, pues el movimiento de ambos comienza a observarse en t = 0, cuando el semáforo cambia a verde.

Camión

Movimiento rectilíneo uniforme: x_c(t) = x_o + v_camión .t = x_o + 30t = 30t

Automóvil

Movimiento rectilíneo uniformemente variado: x(t) = x_o + v_o.t + 1/2at²

Como el automóvil parte del reposo su velocidad inicial es 0: v_o=0

Se sabe que su aceleración es 6 pies/s². Sustituyendo todo esto, su ecuación itineraria o posición queda:

x_a (t) = (1/2). 6.t² = 3t²

Como los móviles se encuentran al mismo tiempo, se igualan sus respectivas posiciones:

30t = 3t²

Es una ecuación de segundo grado factorizable:

3t² – 30t = 0

3t (t -10) = 0

Las soluciones son: t₁ = 0 (obviamente se encuentran justo cuando el semáforo cambia a verde) y t₂ = 10 segundos.

Sabiendo que el automóvil rebasa al camión al cabo de 10 segundos, la distancia que recorrieron ambos se halla sustituyendo este tiempo en cualquiera de las ecuaciones de movimiento, por ejemplo la del camión:

30t = 30 pies/s x 10 s = 300 pies.

La velocidad del automóvil en ese instante se calcula mediante: v(t) = v_o + at.

v (10) = 6 pies/s² x 10 s = 60 pies/s.

Actividad propuesta

1.- Un móvil tiene la siguiente ley de movimiento:

x(t) = 2t³ +5t² + 5

Las unidades para la posición son pies y el tiempo viene en segundos. Calcular:

a) Expresiones para v(t) y a(t)

b) Los valores de posición, velocidad y aceleración para t = 2 y t = 3 segundos

c) Velocidad media entre t = 2 y t = 3 segundos

d) Aceleración media entre t = 2 y t = 3 segundos.

2.- Se tiene la siguiente gráfica de la velocidad en función del tiempo, para un móvil que se mueve sobre una línea recta, el sentido positivo se toma hacia la derecha. Además se sabe que la posición del móvil para t = 2 segundos es x = 2 m.