Frances Physics: Ejercicios resueltos paso a paso de Dinámica de Fluidos del R. Mott (6ta. Edición)

Por Fanny Zapata

Medidor Venturi (Ejercicio 6.86)

En la figura se muestra un medidor venturi que contiene un manómetro de tubo U, para medir la velocidad del flujo de un fluido. Cuando no existe flujo la columna de mercurio está balanceada y su parte superior se encuentra a 300 mm por debajo del cuello.

Calcular la rapidez del flujo de volumen que pasa por el medidor y que ocasionaría que el mercurio fluya por el cuello, Observe que para una desviación dada h del manómetro, el lado izquierdo se desplazaría h/2 hacia abajo, mientras el lado derecho subiría h/2.

Peso específico del agua: 9800 N/m³
Peso específico del mercurio: 133280 N/m³

Solución

Si se quiere que el mercurio quede justo en la garganta del medidor h/2 debe ser igual a 300 mm = 0.3 m, por lo tanto h = 600 mm = 0.6 m.

Se escogen dos puntos, uno a la izquierda de la garganta, al cual denotaremos como 1 y otro justo en la garganta, que denotamos como el número 2, para establecer la ecuación de Bernoulli entre ellos dos y así establecer una relación entre las velocidades del flujo en dichos puntos.

En primer lugar se usa la ecuación de continuidad:

A₁v₁ = A₂v₂

Con A = π(D²/4)

Los respectivos diámetros se ven de la figura:

v₂ = (A₁v₁) /A₂ = (D₁²/ D₂²) v₁ = (75/25)² v₁= 9v₁

Este resultado se sustituye en la ecuación de Bernoulli:

$\frac{p_{1}}{\gamma _{a}}+z_{_{1}}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}=\frac{p_{2}}{\gamma _{a}}+z_{_{2}}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}$

Como ambos puntos quedan a la misma altura z₁ = z₂ y resulta:

$\frac{p_{1}}{\gamma _{a}}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}=\frac{p_{2}}{\gamma _{a}}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}$

$\frac{p_{1}-p_{2}}{\gamma _{a}}=\frac{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2g}$

$\frac{p_{1}-p_{2}}{\gamma _{a}}=\frac{9^{2}v_{1}^{2}-v_{1}^{2}}{2g}$

$\frac{p_{1}-p_{2}}{\gamma _{a}}=\frac{80v_{1}^{2}}{2g}$

La diferencia de presiones esperamos obtenerla con el medidor venturi, para luego sustituirla en esta expresión. El fluido en el manómetro es el mercurio, el cual se encuentra en reposo y comenzamos a recorrer las ramas del manómetro partiendo del punto 1 hacia abajo:

p_{1 +} (75 x10^-3/2) γ_a + 0.6 γ_a – 0.6 γ_Hg- γ_a(25 x10^-3/2) = p₂

p₁-p₂= - (0.0375) γ_a - 0.6 γ_a + 0.6 γ_Hg+ γ_a(0.0125)

p₁-p₂= - 0.0375 γ_a - 0.6 γ_a + 0.6 γ_Hg+ 0.0125γ_a

Ahora bien:

p₁-p₂= -0.0375 x 9800 – 0.6 x 9800 + 0.6 x 133280 + 0.0125 x 9800 Pa = 73843 Pa.

p₁-p₂ = 80. γ_a. (v₁² /2g) = 71638

v₁²= 2 x 9.8 x 73843 / 80 x 9800 m²/s² = 1.8461 m²/s²

v₁ = 1.36 m/s

De esta forma v₂ que es la velocidad del flujo en el cuello, resulta:

v₂ = 9v₁ = 12.24 m/s

Y el caudal sería
Q = A₂.v₂ = π (D₂ ²/4) . v₂= π x 0.000039 x 12.24 m³/s = 0.006 m³/s

Vaciado de un tanque (Ejercicio 6.102)

Calcule el tiempo requerido para reducir en 21 pies la profundidad del líquido en el tanque de la figura, si la profundidad original es de 23 pies, el diámetro del tanque es 46.5 pies y el orificio es de 8.75 ´´.