Frances Physics: Cinemática de la partícula: movimiento en dos y tres dimensiones

Por Fanny Zapata

Una partícula puede moverse en dos y tres dimensiones y de maneras diferentes, siguiendo curvas.

A la curva que recorre la partícula móvil se le llama trayectoria. Las trayectorias pueden ser de varias formas, por ejemplo:

-Parabólica, en la cual el móvil describe una parábola. Es la trayectoria que sigue una partícula a la cual se le proporciona una velocidad inicial y luego se le deja librada a la acción de la gravedad.

-Circular, la partícula describe una circunferencia.

-Elíptica, es decir, el objeto se mueve siguiendo una elipse, tal como lo hacen los planetas del sistema solar.

-Hiperbólica, el móvil sigue una hipérbola. Ciertos cometas en el sistema solar tienen este tipo de trayectoria.

-Curvilíneo, en donde el móvil describe una curva arbitraria, como la que se muestra en la figura 1.

Figura 1. Una carretera curvilínea en el espacio. Fuente: Pixabay.

Para describir el movimiento de una partícula en el plano o el espacio, se requiere de un sistema de coordenadas para poder especificar su vector de posición. Escogiendo el sistema de coordenadas cartesianas x,y,z, el vector de posición de una partícula móvil tiene la forma:

r (t) = r_x i + r_y j + r_z k

El cual también se expresa como:

r (t) = x(t) i +y(t) j + z(t)k

El vector de posición va desde el origen O del sistema de coordenadas, hasta el punto P donde se encuentra la partícula en un instante dado.

Como la posición es un vector, se denota mediante letra negrita o colocando una flecha encima de la magnitud. En movimientos sobre el plano o en el espacio es necesario especificar cuidadosamente los vectores y distinguirlos de las cantidades escalares.

Figura 2. Vector de posición para una partícula que se mueve en el espacio, observe que hay una componente en cada dirección. Fuente: Wikimedia Commons.

La definición de los vectores y las demás magnitudes que conocemos del movimiento en una dimensión, se extiende a dos y más dimensiones de igual forma que el vector de posición ya descrito. De esta forma tenemos:

Vector de posición r: es el vector que está dirigido desde O hasta P, el lugar donde está la partícula en un cierto instante t. Sus unidades en el Sistema Internacional son los metros (ver figuras 2 y 3).

Figura 3. Vcetor de posición de una partícula moviéndose en el plano. Fuente: Wikimedia Commons.

Magnitud del vector de posición:

r = │r│

$r=\sqrt{r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}}$

Vector desplazamiento Δr: es la resta de dos vectores de posición y su unidad en el Sistema Internacional es el metro (m). Si durante su trayectoria la partícula se movió desde el punto P₁ hasta el punto P₂, su desplazamiento es:

Δr = r₂ – r₁

Figura 4. Desplazamiento y distancia. La distancia se mide sobre la trayectoria y es un escalar, mientras que el desplazamiento es un vector dirigido desde el punto inicial al punto final. Fuente: Wikimedia Commons.

Vector velocidad media v_m: para ir desde P₁ hasta P₂ la partícula se tomó un tiempo t₂ –t₁ = Δt. la velocidad media es el vector que resulta de dividir el vector desplazamiento entre el valor de Δt (un escalar). Sus unidades en el Sistema Internacional son m/s.

v_m=Δr / Δt

Vector velocidad instantánea v: es el límite de v_m cuando Δt tiende a 0. Su dirección es la misma en que se mueve la partícula y siempre es tangente a la trayectoria descrita.

$\vec{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

Este límite es, por definición, la derivada de la función de posición r (t) con respecto al tiempo:

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t}$

Rapidez v: es el módulo o magnitud del vector velocidad instantánea y tiene sus mismas unidades.

v = │v│

$v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$

Vector aceleración media a_m: al igual que sucede en una dimensión, cuando la velocidad cambia, la aceleración nos permite conocer su tasa de cambio. Por lo tanto se define la aceleración media como el vector que resulta de dividir el vector velocidad entre Δt. Sus unidades en el Sistema Internacional son m/s².

$\vec{a}_{m}=\frac{\Delta \vec{v} }{\Delta t}$

Nótese que la aceleración media está dirigida en la misma dirección y en el mismo sentido que el vector Δv (ver figura).

Vector aceleración instantánea a: es el límite de a_m cuando Δt tiende a 0, por lo tanto sus unidades son las mismas que las de la aceleración media.

$\vec{a}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{v} }{\Delta t}$

Dicho límite es la derivada de la función v(t) con respecto al tiempo, o la derivada segunda de la posición respecto al tiempo.

$\vec{a}=\frac{\mathrm{d} \vec{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r} }{\mathrm{d} t^{2}}$

La magnitud del vector aceleración se calcula así:

$a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}$

Figura 5. El vector velocidad siempre es tangente a la curva descrita, mientras que el vector aceleración señala la tasa de cambio en la velocidad. Fuente: F. Zapata.

Ejemplo resuelto

El vector de posición de una partícula es:

r (t) = (2t²-1) i – (t-8) j + 3k

Todas las unidades en el Sistema Internacional SI. Encontrar:

a) El vector velocidad en función del tiempo v (t)

b) Una expresión para la aceleración en función del tiempo a (t)

c) ¿Cuáles son los módulos de la posición, la velocidad y la aceleración para t = 4 s?

Solución

a) La velocidad es la primera derivada de la posición. Para derivar una función vectorial como r (t) simplemente se deriva cada componente por separado, siguiendo las reglas de derivación conocidas.

v (t) = r’(t) = 4t i – j

b) La aceleración es la primera derivada de la velocidad (o la segunda derivada de la posición):

a (t) = v’(t) = 4 i

c) Los módulos o magnitudes en t = 4 s son los siguientes, comenzando por la posición:

r_x (4) = (2t²-1)_t=4= 2 . 4² – 1 m = 31 m

r_y (4) = - (t-8)_t=4 = - (4-8) m = 4 m

r_z (4) = 3 m