Frances Physics: Movimiento en el plano con aceleración constante: proyectiles

Por F. Zapata

Generalidades

Para describir un movimiento en el plano solamente se necesitan dos coordenadas. Vamos a partir de la ecuación general de la posición para la partícula en tres dimensiones:

r (t) = x(t) i +y(t) j + z(t)k

Nótese que esta es una ecuación vectorial con tres componentes. Puesto que se trata de un movimiento en el plano, se prescinde de la componente en k:

r (t) = x (t) i +y (t) j

Figura 1. El movimiento en el plano requiere de dos coordenadas para su descripción. Fuente: PxFuel.

Un caso especial del movimiento en el plano ocurre cuando la aceleración es constante, en tal caso, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea:

a_m = a

Si la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, tenemos:

$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=constante$

Una función cuya derivada es constante es la función lineal, esto quiere decir que la velocidad en función del tiempo tiene la forma:

v (t) = v₀ + a.t

Donde v₀ es la velocidad inicial. Esta también es una función vectorial, no hay que perder de vista que la velocidad tiene dos componentes y se escribe de esta forma:

v (t) = v_x(t)i + v_y(t)j

Por otra parte, la velocidad también es la derivada de la posición respecto del tiempo, y es válido escribir que:

$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}$

Así que debemos encontrar una función tal, que al ser derivada se obtenga v (t) = v₀ + a.t. La forma más general posible de dicha función es:

r (t) = r₀ + v₀t + (1/2) .a.t²

Donde r₀es una constante que representa la posición inicial del móvil y v₀ es la velocidad inicial. De nuevo hacemos hincapié en que se trata de una ecuación vectorial y que por lo tanto r (t) tiene dos componentes, las que mencionamos al comienzo:

r (t) = x (t) i +y (t) j

Movimiento de proyectiles

Un proyectil es cualquier objeto que se lanza y se deja librado a la gravedad, la cual es un vector que está dirigido verticalmente hacia abajo. Patear un balón de fútbol es un buen ejemplo de este tipo de movimiento.

Figura 2. El balón de fútbol es un buen ejemplo de proyectil. Fuente: Pxfuel.

Supongamos que a un proyectil se le proporciona una velocidad inicial v_o o v_i, como se indica en la siguiente figura. Esta velocidad forma un ángulo θ_i con la horizontal.

Lo que esperamos que suceda es que el proyectil se eleve describiendo una trayectoria parabólica y luego descienda a tierra y caiga más adelante, siempre bajo la acción de g, la aceleración de la gravedad que está dirigida en la dirección –j.

Esto es lo que pasa siempre y cuando se cumplan las siguientes condiciones:

1) No se toma en cuenta la curvatura de la Tierra y por lo tanto g siempre está dirigida verticalmente hacia abajo.

2) La altura es suficientemente pequeña como para garantizar que g se mantenga constante.

3) No hay rozamientos ni fricción alguna.

Figura 3. Lanzamiento parabólico. Fuente: Wikimedia Commons.

Hagamos a = g (- j) en las ecuaciones generales del movimiento en el plano. El vector velocidad tiene dos componentes, uno en x y otro en y:

v (t) = v_x(t)i + v_y(t)j

Esto quiere decir que se producen dos movimientos simultáneos, uno con aceleración constante g hacia abajo y el otro en el eje x sin aceleración:

v_y(t) = v_oy – gt (corresponde a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado)
v_x(t) = v_ox (es constante, es decir, sin aceleración)

Lo que nos lleva a las siguientes ecuaciones para la posición:

r (t) = x (t) i +y (t) j

x (t) = x_o + v_ox.t
y (t) = y_o + v_oy.t – ½ gt²

Además es válida la ecuación que vincula la velocidad con la posición sin que aparezca el tiempo, tal como aparece en el estudio del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado:

v_y_f² = v_oy² - 2.g (y - y₀)

Si elegimos x₀= y₀ = 0 las ecuaciones anteriores se simplifican:

x (t) = v_ox.t
y (t) = v_oy.t – ½ gt²

Cómo hallar las componentes de la velocidad inicial

Figura 3. El vector velocidad inicial y sus componentes. Fuente: Wikimedia Commons.

Las componentes cartesianas de la velocidad inicial son:

v_ox= v_o . cos θ

v_oy= v_o . sen θ

Con esto, nuestras ecuaciones para la posición se transforman en:

x (t) = (v_o . cos θ).t
y (t) = (v_o . sen θ).t – ½ gt²

Y para la velocidad tendremos:

v_x(t) = v_o . cos θ
v_y(t) = v_o . sen θ – ½ gt²

El módulo de la velocidad sigue siendo:

$v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$

Tiempo máximo y tiempo de vuelo

El tiempo máximo t_max es el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la altura máxima, mientras que el tiempo de vuelo t_v es el tiempo total que el proyectil dura en el aire.

De la figura 1 podemos notar que cuando el proyectil alcanza su altura máxima, la velocidad v_y se anula, esto no quiere decir que el proyectil se detenga, ya que sigue teniendo velocidad horizontal, pero podemos aprovecharlo para sustituir v_y = 0:

0 = (v_o . sen θ) –g.t_max

$t_{max}=\frac{v_{o}sen\theta }{g}$

Cuando el lanzamiento es a nivel (desde A hasta E en la figura 3), el tiempo de vuelo es dos veces el tiempo máximo:

t_vuelo = 2t_max

Altura máxima

Hagamos v_yf = 0 y y_o = 0 en la ecuación siguiente:

v_y_f² = v_oy² - 2.g (y - y₀) → 0 = v_oy² - 2.g . y_max
$y_{max}=\frac{v_{oy}^{^{2}}}{2g}$

$y_{max}=\frac{\left (v_{o}sen\theta \right )^{2} }{2g}$

Alcance máximo horizontal

Interesa saber dónde va a caer nuestro proyectil, que es la distancia máxima horizontal que recorre, entonces nos vamos a la ecuación x(t) y allí sustituimos el tiempo de vuelo, que es el tiempo total que demora el objeto en el aire:

x_max = v_ox. t_vuelo

El alcance máximo horizontal también se denota como R y tomando en cuenta las ecuaciones anteriores, cuando el lanzamiento es a nivel, queda como:

R = v_o.cos θ . 2t_max

$R=\left (v_{o}cos\theta \right ) \left (\frac{2v_{o}sen\theta }{g} \right )$

Dejamos como ejercicio para el lector demostrar que, con ayuda de la identidad trigonométrica adecuada, el alcance máximo horizontal se puede escribir, en términos del ángulo doble, como: