Movimiento circular

Por F. Zapata

Se dice que una partícula tiene movimiento circular cuando la trayectoria que describe es una circunferencia. Es frecuente encontrar cosas que se mueven de esta manera, por ejemplo las personas que se divierten en la rueda de la fortuna o un punto ubicado en el aspa de un ventilador.

En lo que sigue continuaremos con la suposición de que las cosas que se mueven, sin importar su tamaño y dimensiones, son partículas. Por eso nos referiremos a ellas con ese nombre, teniendo claro que en verdad pueden ser tan grandes como el planeta Tierra.

Figura 1. El movimiento circular es frecuente en el mundo que nos rodea. Fuente: PxHere.

En realidad, la Tierra y los demás planetas del sistema solar se mueven siguiendo trayectorias elípticas según las leyes de Kepler. Esto está determinado por la ley de gravitación universal de Newton, sin embargo, en el caso de la Tierra y los planetas mayores, las trayectorias que siguen alrededor del sol bien pueden modelarse como circulares, al menos en una primera aproximación.

Para describir la posición de la partícula, a la cual representamos mediante la letra P, se requieren dos coordenadas: x e y, por eso el movimiento circular forma parte de la cinemática en dos dimensiones.

En el siguiente dibujo aparece un esquema de una partícula P que da vueltas en sentido antihorario, lo cual sabemos por la dirección y el sentido del vector velocidad v.

Aprovecho la ocasión para recordar al lector que los vectores se denotan con letra negrita en el texto, o con una flecha encima de la letra. Mantener clara la diferencia entre vector y escalar es fundamental para comprender el movimiento en más de una dimensión.

Figura 2. Movimiento circular en el plano xy. Fuente: F. Zapata.

También es preciso señalar claramente el punto de referencia, que en este caso es el origen del sistema de coordenadas denotado O.

Posición en el movimiento circular

El vector de posición de nuestra partícula es r (t), que como sabemos, siempre está dirigido desde O hasta P. Un detalle muy importante es el siguiente:

En el movimiento circular, el vector de posición siempre tiene el mismo módulo: el radio r de la trayectoria.

En efecto, la dirección y el sentido del vector r (t) va cambiando todo el tiempo, pero su tamaño siempre es el mismo. Podemos expresarlo mediante:

r (t) = x (t) i + y (t) j

Pero de nuevo, observando con detenimiento la figura, encontramos un triángulo rectángulo, cuyos catetos son los valores de x y y respectivamente, mientras que la hipotenusa es el módulo de r (t), el cual sabemos que es R, el radio de la trayectoria, que siempre se mantiene constante.

Y dondequiera que hay un triángulo rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas del ángulo agudo, el cual es φ y varía con el tiempo. El ángulo φ se puede medir a partir de cualquier línea, pero en este caso lo más cómodo es emplear al eje x positivo como referencia.

Entonces tenemos:

sen θ = y/r

cos θ = x/r

De allí que:

y (t) = r sen θ (t)

x (t) = r cos θ (t)

Y además sen θ (t) y cos θ (t) están relacionados a través de la ecuación de la circunferencia:

sen² θ (t) + cos² θ (t) = R²

De esta manera, el movimiento circular puede describirse cómodamente en términos de la coordenada angular θ (t) y esto ayuda a reducir los cálculos, pues entonces se tiene nada más una sola variable.

El movimiento circular uniforme: velocidad, rapidez y aceleración

En el siguiente dibujo una partícula se mueve en círculos en sentido horario, desde el punto A hasta el punto B. Como los vectores que representan las respectivas velocidades tienen el mismo tamaño (módulo), decimos que la rapidez es uniforme, ya que la rapidez es el módulo del vector velocidad. Este es un caso particular del movimiento circular.

Pero en realidad el vector velocidad sí está cambiando, por el hecho de que su dirección y sentido varían continuamente para poder darle la vuelta a la circunferencia.

Y si el vector velocidad cambia, es que hay una aceleración implicada. No importa si este cambio es solamente direccional, definitivamente hay una aceleración y debemos calcularla mediante la definición:

Donde Δv = v_f - v_i

Así que tomemos a los dos vectores de velocidad y vamos a restarlos, como aparece en la figura pequeña de la derecha.

Figura 3. Velocidad y aceleración en el movimiento circular. Fuente: F. Zapata.

Nótese que Δv está dirigido hacia el centro O de la trayectoria circular, en consecuencia, la aceleración también se orienta de la misma manera. Por eso se llama aceleración centrípeta.

El triángulo pequeño de la derecha es semejante al triángulo un poco más grande de la izquierda, el que tiene dos de sus lados como r y el tercero como Δr. Como Δθ es un ángulo central, ocurre que lo podemos definir de esta forma:

Δθ = Δr / r

Y también, por el triángulo pequeño:

Δθ = Δv / v

Obsérvese que estamos trabajando ahora con los valores absolutos de v y de r, que representan las longitudes de los lados de los respectivos triángulos. Por lo tanto:

Δr / r = Δv / v

Entonces:

Pero Δv / Δt es la magnitud de la aceleración, mientras que Δr / Δt es la magnitud de la velocidad y escribimos:

Aceleración centrípeta

En el movimiento circular uniforme existe una aceleración dirigida hacia el centro de la trayectoria, llamada aceleración centrípeta, cuyo módulo viene dado por:

Velocidad angular o frecuencia angular

Es la primera derivada de la posición angular y se denota con la letra griega ω, por lo tanto:

En el movimiento circular uniforme ω (t) es constante.

Relación entre la frecuencia angular y la velocidad

Ya que Δθ = Δr / r, entonces:

dθ = dr / r

Por lo tanto:

dθ /dt= (1/r)(dr / dt)

Pero dr / dt = v, en consecuencia:

ω = (1/r).v

O bien:

v = ω.r 

Ecuaciones del movimiento circular uniforme

En términos de las variables angulares θ y ω, las ecuaciones del movimiento circular uniforme se pueden escribir de manera análoga a las del movimiento rectilíneo uniforme, cambiando las magnitudes lineales por las angulares, siempre medidas en radianes:

θ = θ_o + ωt

Con ω constante. El valor de θ_o corresponde a la posición inicial medida en radianes. Si se parte del eje x positivo en sentido antihorario, este valor es 0, tal como se explicó anteriormente, pero nada impide que el móvil parta de otro punto, por lo que es necesario leer cuidadosamente el enunciado del problema.

Período y frecuencia del movimiento circular uniforme

El período del movimiento circular uniforme, denotado como T, es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa. Como es un tiempo, se mide en segundos en el Sistema Internacional. Otras unidades pueden ser minutos, horas, etc.

Lo podemos calcular sabiendo que 1 vuelta completa equivale a 2π radianes. Como θ = ωt entonces:

2π = ωT

T = 2π/ω

La frecuencia f del movimiento circular uniforme se define como el número de vueltas n por unidad de tiempo:

f = n/t

Sabemos que en el tiempo T la partícula gira n = 1 vuelta, de esta forma, la frecuencia f es el recíproco del período:

f = 1 / T

f = ω / 2π

Lo que conduce a:

ω = 2πf

Ejemplo resuelto

Una partícula recorre una trayectoria circular en el plano xy, cuyo radio es R = 5 m con una rapidez constante v₀ = 15 m/s y en el sentido contrario al reloj. Hallar:

a) La función de posición angular θ(t)

b) Los vectores posición r (t) y velocidad v (t) y aceleración a (t) en coordenadas cartesianas.

c) ¿Dónde se encuentra la partícula al cabo de t= π/2 s?

d) ¿Cuánto tiempo tarda en dar 3 vueltas completas?

Se sabe que en el instante t = 0 la partícula se encuentra en r₀ = −5 j m.

Solución a

Tenemos el radio r = 5 m y la ecuación: θ (t) = θ_o + ωt, donde θ_o = 3π/2, ya que la partícula parte de r₀ = −5 j, según informa el enunciado. Con esa información se construye la figura, tomando en cuenta que los ángulos positivos comienzan a medirse desde x = 0 en sentido antihorario.

Necesitamos el valor de ω, el cual es constante y encontramos mediante v = ω.r:

ω = v/r = (15 m/s)/ 5 m = 3 s^-1

Con estos valores sustituimos para hallar θ (t) = θ_o + ωt:

θ(t) = 3π/2+ 3t

Solución b

Sabiendo que:

y (t) = r sen θ (t)

x (t) = r cos θ (t)

Entonces:

y (t) = 5 sen [3π/2+ 3t]

x (t) = 5 cos [3π/2+ 3t]

Por lo tanto:

r (t) = 5 cos [3π/2+ 3t] i + 5 sen [3π/2+ 3t] j

Para encontrar el vector v (t) simplemente derivamos respecto al tiempo la función r (t):

v (t) = -15 sen  [3π/2+ 3t] i + 15 cos [3π/2+ 3t] j

Y para hallar la aceleración volvemos a derivar respecto al tiempo la posición:

a (t) = -45 cos  [3π/2+ 3t] i - 45 sen [3π/2+ 3t] j

Solución c

Para saber donde se halla al cabo de t= π/2 s se puede sustituir en la función angular o en la cartesiana. El resultado debe ser equivalente:

θ(π/2) = 3π/2+ 3 (π/2) = 3π

r (t) = 5 cos [3π/2+ 3(π/2)] i + 5 sen [3π/2+ 3(π/2)] j = 5 cos [3π] i + 5 sen [3π] j = -5 i m

Solución d

Para dar una vuelta se tarda un tiempo T, por lo que en un tiempo igual a 3T, dará 3 vueltas. 

Calculemos T:

T = 2π/ω = (2π/3) s = 2.09 s.

Referencias

1. Bauer, W. 2011. Física para Ingeniería y Ciencias. Volumen 1. McGraw Hill.
2. Figueroa, D. (2005). Serie: Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
3. Giancoli, D.  2006. Physics: Principles with Applications. 6th. Ed Prentice Hall.
4. Hewitt, Paul. 2012. Conceptual Physical Science. 5th. Ed. Pearson.