El problema de los envases de pintura resuelto paso a paso y otros problemas de Álgebra elemental

¿Qué tanto sabes de Álgebra? Ponte a prueba con estos 4 problemas resueltos paso a paso.

1.- Desarrollar los siguientes productos notables:

a)  

b) 

Solución b

Se trata de una suma por su diferencia. De acuerdo al producto notable:

(a+b) (a−b) = a²−b²

Con:

a = 3√(7x)

b = 2√y

Resulta:

   

   

Solución a

 Se usa el producto notable:

 (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² + b³

 Con:

 a = 2x

b = y²

Al sustituir queda:

 2.- ¿Cuál es el polinomio que al ser sumado con x² – 2x+ 6 resulta 3x²+7x?

Solución

El polinomio resultante es de grado 2, al igual que el primer sumando, por lo tanto se puede plantear:

(x² – 2x+ 6) + (ax² + bx + c) = 3x² + 7x

Sumando términos semejantes:

 x² + ax² = x² + 2x² = 3x²

– 2x + bx = – 2x + 9x = 7x

6 + c = 6 – 6 = 0

El polinomio buscado es: 

2x² + 9x – 6

3.- Efectuar y simplificar al máximo los siguientes productos y cocientes:

a) (5x+y)(5x-y)(25x²+y²)

b) 

Solución a

Primero se efectúa la suma por su diferencia del producto (5x+y)(5x−y) y la operación queda así:

(5x+y)(5x−y)(25x²+y²) = [(5x)² — y²] (25x²+y²) = (25x² − y²) ∙ (25x²+y²)

Luego se efectúa la operación resultante que de nuevo es una suma por su diferencia:

(25x² − y²) ∙ (25x²+y²) = (25x²)² − (y²)² = 625 x⁴ − y⁴

Solución b

Se puede resolver de varias maneras, una de ellas es llevando a cabo la división de polinomios directamente:

 

   4x²             − 121 │2x + 11_____

 −4x²  − 22x              2x − 11x

_______________

           − 22x − 121

              22x + 121

___________________

                            0

Luego:

También se puede resolver factorizando el numerador, ya que este se puede escribir como una suma por su diferencia. Luego se simplifica la expresión:

 

 4.- Una jardinera en un parque tiene forma de triángulo, la longitud de uno de sus lados es el doble que la del lado más corto y el tercer lado es 15 pies más largo que el lado más corto. Si el perímetro del triángulo es de 100 pies, ¿cuánto miden los tres lados de la jardinera?

Solución

El enunciado da la siguiente información, que se debe expresar en lenguaje algebraico:

• La longitud del lado más corto es “x”.
• La longitud de uno de sus lados es el doble que la del lado más corto, entonces es “2x”
• El tercer lado es 15 pies más largo que el lado más corto, entonces es “x+15”

El perímetro es la suma de los 3 lados y vale 100 pies:

x + 2x + x+ 15 = 100

Se reducen los términos semejantes y queda una ecuación de primer grado en “x”:

4x + 15 = 100

4x = 85

x = 21.25 pies

El lado más corto mide 21.25 pies, uno de los lados es el doble del lado más corto y debe medir 42.5 pies. Finalmente, el tercer lado es 15 pies más largo que el lado más corto, por lo tanto, mide 36.25 pies.

5.- Daniel tiene tres envases con pintura blanca para pintar la sala de su casa. Ana vierte 1/3 del contenido del primer envase en el segundo, de inmediato José vierte ¼ del contenido del segundo en el tercero y por último, Cristina vierte 1/10 del tercer envase en el primero. Al final cada envase quedó con 9 galones de pintura. ¿Qué cantidad de pintura tenía inicialmente cada envase?

Solución

El primer envase tiene “x” cantidad de galones. El segundo tiene “y” cantidad de galones y el tercero “z” cantidad de galones.

Ana vierte 1/3 del contenido del primer envase en el segundo, entonces este queda con:

y + (1/3)x cantidad de galones.

Y el primer envase queda con (2/3)x galones. Esta información se guarda.

De inmediato José vierte ¼ del contenido del segundo envase en el tercero. Entonces el segundo envase se queda con:

¾ [y + (1/3)x] cantidad de galones.

Y el tercero pasa a tener:

z + ¼ [y + (1/3)x] cantidad de galones.

 Por último, Cristina vierte 1/10 del tercer envase en el primero, entonces este primer envase quedó con:

1/10{ z + ¼ [y + (1/3)x]} + (2/3) x cantidad de galones.

Y como el tercero perdió 1/10, se quedó con 9/10:

(9/10){z + ¼ [y + (1/3)x]}

Cada envase quedó al final con 9 galones:

• Primer envase: (1/10){ z + ¼ [y + (1/3) x]} + (2/3) x = 9
• Tercer envase: (9/10){z + ¼ [y + (1/3) x]} = 9
• Segundo envase: ¾ [y + (1/3) x] = 9 

De esta última ecuación se deduce que:

[y + (1/3)x] = 9 x 4 /3 = 12

Es bueno saber esto, porque este corchete está en las tres ecuaciones, así que se puede sustituir donde se necesite, por ejemplo, en la ecuación para el tercer envase:

(9/10){z + ¼ [y + (1/3)x]} = 9

(9/10){z + ¼ [12]} = 9

(9/10){z + 3} = 9

z + 3 = 10

z = 7 galones

Con esta información se regresa a la ecuación para el primer envase, en la cual se sustituye todo lo que se sabe hasta ahora:

 (1/10){ z + ¼ [y + (1/3)x]} + (2/3) x = 9

(1/10){ 7 + ¼ [12]} + (2/3) x = 9

(1/10){7 + 3} + (2/3) x = 9

1 + (2/3) x = 9

(2/3) x = 8

x = 12 galones

Por último, dado que:

[y + (1/3)x] = 12

[y + (1/3)12] = 12

y + 4 = 12

y = 8 galones