Por: F. Zapata. Video: R. Pérez.
Problema
¿Cuáles deben ser las dimensiones del cuadrilátero inscrito en una circunferencia de radio R para que su área sea máxima? Se sabe que:
R = 6 cosα
Solución
Se trata de un problema de optimización de funciones, en cuya solución se siguen los pasos siguientes.
Paso 1: determinar la función a optimizar
La función a optimizar es el área del rectángulo inscrito:
Área = base×altura = x∙y
En principio hay dos variables “x” e “y”, pero el área puede expresarse en términos del ángulo α mediante sustitución de razones trigonométricas del triángulo rectángulo, en efecto, de la figura mostrada se tiene que:
x = 2R∙cos α
y = 2R∙sen α
De esta manera:
A(α) = x∙y = (2R∙cos α)× (2R∙sen α) =
=4R2∙ cos α ∙ sen α =
=4 ∙ (6 cosα)2∙ cos α ∙ sen α =
=144(cosα)3∙ sen α
La función a optimizar es, en términos del ángulo α:
A(α) = 144(cosα)3 ∙ sen α
Paso 2: calcular los puntos críticos
Para hallar los valores que hacen máxima (o mínima) esta función, es necesario derivar e igualar dicha derivada a 0. Es la forma de hallar los puntos críticos, en los cuales la función tiene un máximo, un mínimo o no está definida:
= 144[3(cosα)2 (senα) (−senα) + (cosα)3 (cosα)]=
= 144[−3(cosα)2 (senα)2 + (cosα)4]
Para que la derivada se anule, basta que el corchete sea 0:
−3(cosα)2(senα)2 + (cosα)4 = 0
Factorizando esta expresión:
(cosα)2 [−3(senα)2 + (cosα)2] = 0
Ahora es suficiente igualar este nuevo corchete a 0, porque la solución cosα = 0 no es de interés, ya que no se tendría un rectángulo en ese caso :
[−3(senα)2 + (cosα)2] = 0
3(senα)2 = (cosα)2
Sustituyendo la identidad trigonométrica fundamental: (cosα)2 + (senα)2 = 1
3(senα)2 = 1−(senα)2
4(senα)2 = 1
Para este problema solamente interesan los ángulos comprendidos entre 0 y π/2. La solución α = arc sen (1/2) es:
α = π/6 radianes = 30º
Por lo tanto las dimensiones del rectángulo que optimiza el área son:
x = 2R∙cos α = 2 × 6 cosα × cosα = 2 × 6 cos30º × cos30º = 9.0 unidades de longitud
y = 2R∙sen α = 2 × 6 cosα × senα = 2 × 6 cos30º × sen30º = 5.2 unidades de longitud.
El área así obtenida es:
A = 5.2 × 9.0 unidades de superficie = 46.8 unidades de superficie.
Mira el siguiente video:
Paso 3: comprobar que el área es máxima
Queda por comprobar que efectivamente, el punto (π/6; 46.8) es máximo. Se puede aplicar el criterio de la segunda derivada:
Pero antes de derivar, conviene sustituir nuevamente la identidad trigonométrica fundamental en el argumento de la derivada, para facilitar la operación. El argumento de la derivada quedaría así:
−3(cosα)2 [1 − (cosα)2]+ (cosα)4 = −3(cosα)2 +4 (cosα)4
Y la derivada en cuestión es:
= 288cosα(−senα) [−3 + 8(cosα)2]
El criterio de la segunda derivada afirma que si A´´(α) < 0, para α = 30º, entonces se trata de un máximo:
Evaluando la expresión obtenida en α = 30º:
288(−sen30)(cos30)[ −3+8(cos30)2] = −374.1
El signo del resultado es lo que importa en este caso, como es negativo, se comprueba que en efecto el área máxima es 46.8.
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