Interés compuesto (II parte)

 Por F. Zapata

Frecuencia de la capitalización

Los intereses de una inversión de pueden capitalizar a lo largo de un determinado período de tiempo.

La frecuencia de capitalización se define como el número de veces que se capitalizan los intereses al cabo de un año. Por ejemplo, los intereses pueden capitalizarse cada 2, 3, 4, 6 o 12 meses. 

Si se capitalizan trimestralmente, su frecuencia es 4, ya que hay cuatro trimestres al año, si se capitalizan semestralmente, la frecuencia es 2, puesto que un año tiene dos semestres, y así sucesivamente.

Llamando k a dicha frecuencia, se tiene:

• Interés capitalizado mensualmente: k = 12
• Interés capitalizado trimestralmente: k = 12/3 = 4
• Interés capitalizado cuatrimestralmente: k = 12/4 = 3
• Interés capitalizado semestralmente: k = 12/6 = 2
• Interés capitalizado anualmente: k = 12/12 = 1

Tasa nominal y tasa del período

La tasa nominal es la tasa que ofrecen los bancos como referencia, y suele ser anual, sin embargo, la capitalización puede darse en otros períodos de tiempo. Para diferenciarlas, se empleará la siguiente notación:

_·          Tasa nominal: i_n

·         Tasa del período: i_p

Ambas están relacionadas a través de la siguiente fórmula:

V_F en función de la tasa del período y la frecuencia de capitalización

El valor a futuro V_F se calcula mediante la tasa del período, por ello, la fórmula para el valor a futuro se puede expresar en términos de i_p y k como sigue:

V_F = V_P (1 + i_P)^k∙n

O bien:

Tasa efectiva anual

Asimismo, se tiene la tasa efectiva anual, una cantidad adimensional que se calcula mediante:

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Calcular la frecuencia de capitalización al realizar un depósito en un banco que paga un interés anual que se convierte cuatrimestralmente.

Solución

Un año tiene 3 cuatrimestres (3 × 4 = 12 meses), por lo tanto:

Ejemplo 2

El banco del ejemplo 1 paga un interés de 25 % anual convertido cuatrimestralmente. ¿Cuánto dinero se obtiene al cabo de 2 años, colocando un capital de 5000 $?

Solución

Según la fórmula:

V_F = V_P (1 + i)ⁿ

Como se indicó anteriormente, es necesario que i y n se encuentren en las mismas unidades de tiempo. Dado que el interés es convertido cuatrimestralmente, lo mejor es expresar el tiempo en años, sabiendo que 1 año = 3 cuatrimestres.

Y como tasa de capitalización se coloca la tasa del período i_p.

Los datos que se tienen son los siguientes:

·     V_P = 1000 $
·         i_n = 25 % anual =0.25
·         t = 2 años = 6 cuatrimestres
·         k= 3 (calculada en el ejemplo anterior)

Cálculo de la tasa del período i_p:

Cálculo del valor a futuro V_F:

V_F = V_P (1 + i)ⁿ = 5000 (1 + 0.0833)⁶ = 8081 $

Ejemplo 3

Se realiza una inversión de 100000 $ colocados durante un año a tasa nominal del 36%, capitalizable mensualmente. Calcular:

a)     El valor a futuro V_F

b)    Los intereses

c) La tasa real de ganancia

Solución a                      

V_F = V_P(1+i_P)^k∙n

Los datos del enunciado son los siguientes:

·         V_F = 100000 $

·         k = 12 (ver la tabla de frecuencias al comienzo)

·         i_n = 0.36

n = 1 mes

Cálculo de i_p

Cálculo de V_F

V_F = V_P(1+i_P)^k∙n = 100000 (1 + 0.03)¹² = 142576 $

Solución b                      

I = V_F − V_P = 142576 – 100000 = 42576 $

Solución c