Frances Physics: Formas analíticas de expresar un vector

Por F. Zapata

Los vectores se pueden expresar analíticamente de diversas formas, para facilitar las operaciones entre ellos, tales como la suma, la resta y los productos entre vectores.

Vectores por sus componentes cartesianas

Supóngase que se tiene un vector v en el plano cartesiano, cuyo origen coincide con el origen de las coordenadas, es decir, el punto (0,0). Recuérdese que un vector se denota con letra negrita en texto impreso, o bien con una flechita encima, si el texto es manuscrito, así:

$\hat{v}$

Las componentes cartesianas del vector v son v_xy v_y, de manera que el vector se puede expresar fácilmente como:

v = < v_x, v_y >

Los corchetes se usan para distinguir el vector de su punto extremo, cuyas coordenadas son, en este caso (v_x, v_y), ya que el origen del vector coincide con (0,0).

La idea se extiende fácilmente a un vector en el espacio, en este caso, se añade una coordenada más:

v = < v_x, v_y, v_z>

El módulo o magnitud del vector en el plano viene dada por:

$v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$

Y si está en el espacio:

$v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$

También es posible conocer el ángulo θ que forma el vector v con el eje +x, el cual sirve como referencia. Por trigonometría elemental, se tiene que:

$\theta =arctg\left (\frac{v_{y}}{v_{x}} \right )$

Vectores en forma polar

La figura de arriba muestra un vector v, de módulo v, que forma un ángulo θ con el eje +x. Por trigonometría, se tiene que:

· v_x= v∙cos θ

· v_y= v∙sen θ

De manera que el vector también se puede especificar si se conoce su magnitud y dicho ángulo θ, pudiendo pasar de la forma polar a la cartesiana y viceversa, mediante las fórmulas anteriores.

En forma polar, un vector se expresa como:

v = (v; θ)

Por ejemplo, el vector v = (12; π/6) denota al vector de módulo igual a 12 unidades y que forma un ángulo de π/6 = 30º con el eje +x.

Nota: se utiliza punto y coma para separar las componentes polares de un vector.

Ejemplo 1

En la siguiente figura, el ángulo que forma el vector v con el eje horizontal es θ = 30º y el módulo del vector es 25. Encuentre las componentes cartesianas del vector.

Respuesta

Mediante:

· v_x= v∙cos θ

· v_y= v∙sen θ

Y sustituyendo los valores del enunciado, resulta:

· v_x= v∙cos θ = 25∙cos 30º = 21.7

· v_y= v∙sen θ = 25∙sen 30º = 12.5

Ejemplo 2

Hallar el módulo del vector v = < 5, − 1> y el ángulo que forma con respecto al eje +x.

Respuesta

Se trata de un vector en el plano, en cuyo caso se utilizan las fórmulas:

$v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$

$\theta =arctg\left (\frac{v_{y}}{v_{x}} \right )$

En primer lugar se calcula su módulo:

$v =\sqrt{5^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{26}$

Seguidamente, se calcula el ángulo que forma el vector con el eje +x. Nótese que la componente horizontal del vector es positiva, mientras que la componente vertical es negativa, por lo tanto, este vector se encuentra en el IV cuadrante y el ángulo que forma con el eje +x debe estar comprendido entre 270º y 360º, o lo que es igual, entre 3π/2 y 2π radianes.

Al aplicar la fórmula se obtiene:

$\theta =arctg\left (\frac{v_{y}}{v_{y}} \right )=arctg\left (-\frac{1}{5} \right )=-11.31^{o}$

Como el resultado es negativo, significa que este ángulo está medido en el sentido horario respecto al eje +x, por lo tanto, el ángulo positivo, que está medido en sentido antihorario respecto al eje +x es:

360º − 11.31º = 348.7º

La representación gráfica de dicho vector es:

Vectores expresados en términos de i, j y k

Los vectores unitarios i, j y k son tres vectores cuyo módulo es 1, y que son perpendiculares entre sí. Sirven para ubicar las tres direcciones principales en el espacio, las que se conocen como alto, ancho y profundidad.

Cuando se escribe a mano, o si el procesador de texto lo permite, para distinguir un vector unitario de otro que no lo es, se le coloca al primero un acento circunflejo, tal como se muestra en la siguiente figura.

Lo bueno de estos tres vectores es que forman una base, y esto significa que cualquier otro vector en el espacio se puede escribir en términos de ellos. De igual forma se puede escribir un vector en el plano, solo que tendrá dos componentes nada más, colocando un 0 como coeficiente de la componente que no existe.

En la siguiente imagen está el vector u en rojo, y dos vectores más, en morado y verde. El vector morado se puede escribir como u_x i, mientras que el vector verde es u_y j. Ahora bien, la figura representa una suma gráfica de vectores en el plano, en la que el vector u queda representado como:

u = u_x i + u_y j

La componente k no es necesaria, por lo que se omite o bien se acompaña de u_z = 0.