Por F. Zapata
En interés compuesto, tanto el capital
y como los intereses devengan intereses a su vez, lo cual significa que los
intereses también se capitalizan.
Por ello, cada vez que finaliza un
período de tiempo determinado, los intereses devengados se van añadiendo al
capital y es sobre esta suma que se calcula la nueva cantidad de dinero.
Supóngase que se tiene una cierta cantidad de dinero VP, para invertirlo a una tasa de interés del i % anual.
Al
cabo de 1 año, se tendrá el monto futuro, cantidad a la que se llamará VF:
VF
(1 año) = VP + VP∙i = VP (1+ i)
Donde la cantidad VP∙i equivale a los intereses devengados al cabo de ese año.
Dejando pasar otro año, se acumula la siguiente cantidad al cabo de 2 años:
VF
(2 años) = VP + VP∙i + (VP + VP∙i)∙i
= VP +2∙VP∙i + VP∙i2
Este
resultado es un trinomio cuadrado perfecto, que se puede factorizar para
presentarlo de una forma más compacta:
VF
(2 años) = VP (1+i)2
Si
este procedimiento se repite para 3 años, 4 años … n años, se obtiene
la siguiente fórmula general, que sirve para calcular el monto futuro o valor futuro VF al cabo de cierta cantidad de años:
VF = VP (1 + i)n
El significado de cada símbolo en esta fórmula, que es una exponencial, es el siguiente:
- VP: capital, cantidad de dinero invertida o valor presente.
- VF: monto futuro o valor futuro.
- i: tasa de interés anual
- n: número de años
Importante: Nótese que, en este caso, el período de
tiempo está en años, y la tasa de interés es anual. Se puede calcular el valor
futuro al cabo de otros lapsos de tiempo, sin embargo, para aplicar
correctamente la fórmula dada, la tasa de interés y el periodo de tiempo deben
venir siempre en las mismas unidades.
Intereses devengados al cabo de n años
Los intereses devengados al cabo de n años se denotan
mediante la letra I, y equivalen a la diferencia entre el valor futuro y el
valor presente:
I = VF − VP
Los siguientes ejemplos resueltos aclaran el uso de estas fórmulas.
Ejemplo 1
Se invierten 1000 $ a una tasa de interés del 5 % anual. Calcular:
a) ¿Cuánto dinero se obtiene al cabo de 2 años?
b) ¿Y cuántose tiene si se dejan transcurrir 3 años?
Solución a
Se usa la fórmula:
VF = VP (1 + i)n
Con
los siguientes datos proporcionados por el enunciado:
·
VP = 1000 $
·
i = 5 % anual = 5/100 = 0.05
·
t = 2 años
Al
sustituir en la fórmula se obtiene:
VF
= VP (1 + i)n = 1000 (1+ 0.05)2
= 1102.5 $
Solución b
Para saber la cantidad al cabo de 3 años, se sustituye t = 3 en
la fórmula y se resuelve la operación:
VF
= VP (1 + i)n = 1000 (1+ 0.05)3
= 1157.6 $
Ejemplo 2
Solución
Los intereses devengados I, equivalen a:
I
= VF − VP
El
valor de VF al cabo de n = 5 años es:
VF
= VP (1 + i)n = 1000 (1+ 0.05)5
= 1276.3 $
Entonces:
I
= VF − VP = 1276.3 – 1000 $ = 276.3 $
Ejemplo 3
¿Cuánto tiempo debe permanecer un capital de 1000 $ a una tasa de
interés del 5 % anual para obtener un valor futuro de 1500 $?
Solución
A partir de la
fórmula:
VF
= VP (1 + i)n
Se
conocen los valores de:
·
VP = 1000 $
·
VF = 1500 $
·
i = 5% anual = 0.05
Sustituyendo
en la fórmula:
1500
= 1000 (1 + 0.05)n
Puesto
que la incógnita está en el exponente, hay que aplicar logaritmos a ambos
lados, para despejarla. Pueden aplicarse logaritmos decimales o neperianos, en
este caso se aplican logaritmos decimales:
log
1500 = log [1000 ∙ (1 + 0.05)n]
Las propiedades de los logaritmos que se van a aplicar para despejar la incógnita son las siguientes:
- Logaritmo de un producto: log (a∙b) = log a + log b
- Logaritmo de una potencia: log (an) = n∙log a
Con
esto en mente:
log
1500 = log [1000 ∙ (1 + 0.05)n] = log 1000 + log (1 + 0.05)n
= log 1000 + n∙log (1 + 0.05)
Se despeja el valor de n, de esta manera:
Por
lo tanto, el tiempo que hay que dejar el capital inicial para obtener 1500 $ es
de 8.31 años, que equivale aproximadamente a 8 años y 4 meses.
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