Frances Physics: Suma de vectores por el método analítico

Por F. Zapata

Sumar y/o restar vectores analíticamente es muy sencillo, cuando se conocen las componentes del vector. Supóngase que se tienen los vectores u y v, denotados con letra negrita en texto impreso, para diferenciarlos bien de sus respectivas magnitudes, que se escriben como u y v. No está demás recordar que otra forma de diferenciar a los vectores es poniendo una flechita encima de la letra que los denota, así:

$\vec{u}$

Esta última forma se utiliza mucho en texto escrito a mano. Pues bien, la suma de u y v da como resultado otro vector, llamado vector resultante o vector suma R:

R = u + v

La suma de vectores es conmutativa, por lo que también es válido escribir:

R = v + u

Si los sumandos u y v tienen componentes dadas por:

· u = < u_x, u_y, u_z>

· v = < v_x, v_y, v_z>

El vector resultante se obtiene sumando las respectivas componentes de u y v, así:

R = < u_x + v_x; u_y + v_y; v_z + u_z>

En esta notación para vectores se han empleado corchetes, para distinguir claramente al vector de un punto en el plano o en el espacio. Para denotar estos se utilizan los paréntesis.

Es conveniente resaltar que la suma de vectores es conmutativa, lo cual significa que:

R = v + u = u + v

Es decir, tal como ocurre con la suma de números reales, el orden de los sumandos no altera el resultado.

Ejemplo 1

Calcular el vector suma de:

· u = < 4, -3, 10>

· v = < -1, 0, 5>

Llamando R al vector resultante, se tiene:

R = < 4 + (−1); (−3) + 0; (10 + 5)> = < 3, −3, 15 >

Si los vectores sumandos están expresados en términos de los vectores unitarios i, j y k se sigue un procedimiento aanálogo, es decir, se suman o restan únicamente las componentes correspondientes.

Ejemplo 2

Dados los vectores:

· u = 2 i + 3 j + 5 k

· v = − i + 0 j + 9 k

El vector u + v se calcula fácilmente así:

2 i + 3 j + 5 k

− i + 0 j + 9 k +

______________________

i + 3j +14 k

Resta de vectores

La resta de vectores se define como la suma del opuesto. En efecto:

u – v = u + (– v)

Es importante destacar que la resta de vectores no es conmutativa, es decir que, en general:

u – v ≠ v – u

Ejemplo 3

Dados los vectores:

· u = 2 i + 3 j + 5 k

· v = − i + 0 j + 9 k

Puesto que u – v = u + (– v), primero se determina el vector (– v):

−v = − (− i + 0 j + 9 k ) = i − 0 j −9 k

Y luego se procede a realizar la operación u + (– v) como en el ejemplo anterior:

2 i + 3 j + 5 k

i − 0 j − 9 k +

______________________

2i + 3j − 4 k

Ejemplo 4

Una persona camina 18.0 m en línea recta hacia el oeste y luego 25.0 m en línea recta hacia el norte. Empleando métodos analíticos, responder:

a) ¿Qué tan lejos queda la persona del punto de partida?

b) ¿Cuál es la dirección en la que apunta su brújula?

Respuesta a

En vez del usual sistema de coordenadas con los ejes x e y, se empleará uno con los ejes Norte, Sur, Este y Oeste, como se muestra en la figura:

La dirección Norte-Sur se asocia con el eje y, mientras que la dirección Este-Oeste lo hace con el eje x. De esta manera, el sentido norte viene dado por el vector unitario j, y el sentido este por el vector unitario i.

Dicho esto, la persona recorre dos tramos, el primero, llamado D₁, es de 18.0 metros hacia el oeste, el cual se expresa:

D₁ = 18.0 (−i) m

El signo menos se antepone al vector i para indicar sentido oeste.

Y el segundo, que es D₂ y consiste en caminar 25.0 metros en línea recta hacia el norte, queda:

D₂ = 25.0 j m

El desplazamiento total D de la persona es la suma de los desplazamientos D₁ y D₂:

D = D₁ + D₂= 18.0 (−i) + 25.0 j m

Y listo. Este es el vector desplazamiento total, expresado en términos de sus componentes y se deja tal como está, puesto que solo se suman componentes semejantes, tal como se explicó arriba.

Sin embargo, la pregunta se refiere a la distancia a la que queda la persona respecto al punto de partida, y esta es simplemente el módulo del vector D:

$D=\sqrt{18.0^{2}+25.0^{2}}\: m= 30.8\: m$