Frances Physics: El vector fuerza en dos y tres dimensiones

En el post anterior, se describió la forma de trabajar con un sistema de fuerzas concurrentes para encontrar su resultante. Esto es sencillo si se conocen las componentes rectangulares de la fuerza o si esta se expresa en forma polar, es decir, conociendo el módulo de la fuerza y el ángulo que forma con algún eje de referencia.

Ahora se verá un concepto muy importante en estática, que es la línea de aplicación de una fuerza, también llamada línea de acción.

Los niños ejercen fuerzas sobre la cuerda, dirigidas a lo largo de la misma. Fuente: publicdomainvectors.org.

Línea de aplicación de una fuerza

La línea de acción o de aplicación de una fuerza es aquella recta que la contiene. Si se determina un vector unitario en la dirección de dicha línea de acción, al cual se llamará:

y que tenga el mismo sentido que la fuerza, y además se conoce su módulo, el vector fuerza F se expresa inequívocamente a través de:

Este vector unitario se puede calcular fácilmente, conociendo dos puntos que pertenezcan a la línea de acción.

Ejemplo 1

La estructura que se muestra en la figura forma parte de una armadura. Los miembros AB, AC y AD de la misma ejercen fuerzas F_AB, F_AC y F_AD sobre la junta A. Se sabe que la magnitud de F_AB es F_AB = 4 kN, y además, que la fuerza resultante es nula. ¿Cuáles son las magnitudes de F_AC y F_AD?

Fuente: Bedford. Estática.

Solución

En este ejercicio no se conocen directamente los ángulos que forman las fuerzas con alguno de los ejes coordenados, aunque se pueden calcular a través de trigonometría elemental. Sin embargo, se pueden calcular fácilmente los vectores unitarios dirigidos a lo largo de la línea de acción de cada fuerza, y en el sentido de estas, puesto que se conocen las coordenadas de los extremos de los miembros en la armadura, según la imagen.

Cálculo de los vectores unitarios

De acuerdo a la definición de vector unitario:

Siguiendo la ecuación:

Cada una de las fuerzas participantes se escriben como:

F_AB = 4∙ (0.894 i + 0.447 j) kN = (3.576 i + 1.788 j) kN

F_AC = F_AC ∙ (−0.970 i + 0.243 j) kN = (−0.970∙F_AC i + 0.243∙F_AC j) kN

F_AD = F_AD ∙ (−0.555 i − 0.832 j) kN = (−0.555 ∙F_AD i − 0.832 ∙F_AD j) kN

Dado que el enunciado afirma que la suma vectorial de las fuerzas es nula, se sigue que:

(3.576 i + 1.788 j) kN + (−0.970∙F_AC i + 0.243∙F_AC j) kN + (−0.555 ∙F_AD i − 0.832 ∙F_AD j) kN = 0

Desglosando esta ecuación vectorial en dos ecuaciones, una para cada componente, resulta:

∑F_x = 3.576 − 0.970∙F_AC− 0.555 ∙F_AD = 0

∑F_y = 1.788 + 0.243∙F_AC − 0.832 ∙F_AD = 0

Es fácil formar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que son las magnitudes F_AC y F_AD:

− 0.970∙F_AC− 0.555 ∙F_AD = − 3.576

0.243∙F_AC − 0.832 ∙F_AD = − 1.788

Cuyas soluciones son:

F_AC = 2.105 kN

F_AD = 2.764 kN

Ejemplo 2

El cable AB ejerce una fuerza F_AB de magnitud igual a 200 lb-fuerza en el punto A, dirigida desde A hasta B. Por su parte, el cable AC ejerce una fuerza F_ACde magnitud igual a 100 lb-fuerza, dirigida desde A hasta C. ¿Cuál será la fuerza resultante en A?

Solución

Aquí es un poco más complicado el cálculo de ángulos, por tratarse de un problema en tres dimensiones, pero el método que se ha explicado antes para trabajar con las componentes de las fuerzas, facilita en gran medida el trabajo.

Cálculo de los vectores unitarios

Como siempre, el primer paso es calcular los vectores unitarios en la dirección de las línes AB y AC. La figura indica las coordenadas del punto A:

A (6, 0, 10) pies

Y del dibujo, se conocen las coordenadas de los puntos B y C:

B (0, 6, 8)

C (8, 6, 0)

Conociendo las coordenadas de cada punto, se forman los vectores unitarios como en el ejemplo anterior, solo que en este caso tendrán una componente adicional. Nótese también, que a diferencia del ejemplo anterior, el punto A no está en el origen, el cual se ha situado en la intersección de los ejes coordenados: