El problema del campo eléctrico en el centro de un triángulo equilátero, paso a paso

Enunciado del problema

Se tienen 3 cargas puntuales ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyo lado mide L = 20 cm. Calcular el campo eléctrico que esta distribución de cargas produce en el centro del triángulo, sabiendo que:

q₁ = + 2.5 μC ; q₂ = + 4.2 μC; q₃ = −3.6 μC

Solución

Llamemos C al centro del triángulo. El vector campo eléctrico que una carga puntual produce en un punto dado, se calcula mediante la siguiente ecuación:

Donde q es el valor de la carga, r es la distancia entre la carga y el punto donde se quiere encontrar el potencial y k es la constante electrostática, que en unidades del SI es:

k = 9 × 10⁹ N∙m² /C²

El vector unitario dirigido en la dirección de la línea que une la carga con el punto en cuestión, se representa con:

El campo eléctrico es una cantidad vectorial, que atiende al principio de superposición. Es decir, el campo neto en un determinado punto, es la suma vectorial de los campos producidos por cada una de las cargas:

Por lo tanto:

Tratándose de una figura altamente simétrica como el triángulo equilátero, la distancias r₁, r₂ y r₃ son las mismas. En este tipo de triángulo no es difícil demostrar que su centro C está ubicado a una distancia h/3 por encima de la base del triángulo, siendo h la altura del mismo.

El esquema de los campos eléctricos, así como las respectivas distancias entre las cargas y el centro C del triángulo aparecen dibujados en la siguiente figura:

Nótese que que se ha dibujado un sistema de coordenadas cartesianas con el origen coincidiendo con el punto C. Esto es muy importante, ya que el campo eléctrico es una magnitud vectorial, por lo tanto, será necesario especificar cuidadosamente su dirección y su sentido, no solamente su magnitud. Y esto se hace con la ayuda de un sistema de coordenadas.

Importante: Al dibujar el campo eléctrico, este es saliente a las cargas positivas y entrante a las cargas negativas.

Adicionalmente, se han dibujado también algunos ángulos que resultarán útiles más adelante, a la hora de calcular los campos.

Paso 1: Cálculo de las distancias

De la figura anterior, se observa de inmediato que:

r₁ = h – h/3 = 2h/3

Como el triángulo equilátero es simétrico, las distancias r₂ y r₃ son iguales a r₁. El valor de h necesario se calcula con trigonometría elemental o el teorema de Pitágoras utilizando este triángulo rectángulo, que la mitad del triángulo equilátero:

h = 20 cm × sen 60º = 17.3 cm

Por lo tanto:

r₁ = 2h/3 = (2×17.3 cm)/3 = 11.53 cm 

Esta será la distancia a utilizar en los siguientes cálculos.

Paso 2: Cálculo de los campos eléctricos

 El campo producido por q₁ apunta verticalmente hacia abajo (flecha roja), esta es la dirección del vector unitario −j:

En esta operación y en las que siguen, es preciso tener en cuenta que:

-Los centímetros se pasan a metros multiplicando por 10^-2, ya que el valor de la constante electrostática k está en unidades del Sistema Internacional SI.

-Asimismo, la magnitud de las cargas se multiplica por 10^-6 para pasar de microcoulomb (μC) a coulomb (C) y trabajar en el Sistema Internacional.

-El campo eléctrico es fuerza por unidad de carga, por lo tanto, la unidad en el SI es N/C.

El campo producido por q₂ forma un ángulo de 60º respecto al eje y positivo (flecha turquesa), por lo tanto, tiene componentes en las direcciones i y j:

Por último, el campo producido por q₃ forma un ángulo de 60º respecto al eje y negativo (flecha ocre), por lo tanto, tiene componentes en las direcciones i y −j:

Paso 3: Cálculo del campo eléctrico neto

Si las tres cargas tuvieran la misma magnitud, pero conservaran los signos originales del enunciado ¿se anularía el campo eléctrico en el centro del triángulo?

¿Existe alguna configuración de cargas puntuales en los vértices capaz de el campo en el centro del triángulo?