Frances Physics: Límites en forma gráfica

En este post abordaremos el cálculo de límites cuando se dispone de la gráfica de una función. Es muy sencillo.

Primero, veamos en qué consiste hallar un límite en forma gráfica. En la siguiente imagen, la curva en color verde representa la gráfica de una función f(x). Para hallar el límite de la función cuando x tiende a c, hay que acercarse a c desde la izquierda y desde la derecha, tanto como se desee (verlo en el eje de las x). Luego se observa el valor al cual tiende la función (verlo en el eje y) y se aprecia que este valor es L:

Las flechas a la izquierda de x=c indican que el entorno alrededor de "c" se estrecha cada vez más. Conforme esto sucede, el entorno alrededor de y=L se estrecha igualmente. Fuente: Open Stax.

Se concluye que:

Lo anterior se lee de la siguiente manera:

‘El límite de la función f(x) cuando x tiende a c es igual a L’

Si interesa solo el límite cuando nos acercamos a c desde la izquierda, la notación es esta:

Obsérvese el signo negativo como supra índice para la c. La expresión se lee así:

‘El límite de la función f(x) cuando x tiende a c desde la izquierda es igual a L’

Del mismo modo, si solo interesa el límite cuando nos acercamos a c desde la derecha, se denota así:

Que se lee así:

‘El límite de la función f(x) cuando x tiende a c desde la derecha es igual a L’

A estos límites se los conoce como límites laterales y mediante esta notación, nos ahorramos el tener que repetir constantemente “desde la izquierda” o “desde la derecha”.

Cabe destacar que no siempre existe el valor del límite, lo cual sucede en estos casos:

a) Si la función crece o decrece desproporcionadamente cuando nos acercamos a c, tanto desde la derecha como desde la izquierda.

b) O bien si existe un salto, quiebre o discontinuidad en la función, de modo que al acercarse por la izquierda a c se observa que la función tiende a un valor, y al acercarse por la derecha al mismo c, se observa que tiende a otro valor diferente. En otras palabras, el límite no existe cuando los límites laterales difieren.

Dicho esto, vayamos a ejemplos más concretos:

Ejemplo 1

Dada la función cuya gráfica se muestra a continuación, determinar (si existen):

Solución

a) Cuando x tiende a 1, se aprecia claramente que la función tiende a 1:

Entonces, se escribe:

Es decir, el límite coincide en este caso con el valor de la función en x=1. Sin embargo, no siempre es así, ya que no en todos los casos el límite coincide con el valor de la función en x=c.

Cuando x tiende a 0, la función crece desproporcionadamente, tanto si se acerca a x=0 desde la izquierda, como si se hace desde la derecha, por lo tanto, el límite no existe. Sin embargo, para que esto quede reflejado en notación matemática, se escribe usando el símbolo de infinito: